对数周期性幂律模型
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对数周期性幂律模型(Log-Periodic Power Law模型;LPPL模型)
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对数周期性幂律模型是基于交易者之间的相互模仿，这些局部相互作用可形成正反馈，从而导致泡沫和反泡沫的产生，因此可用于金融泡沫和反泡沫的建模和预测。对数周期性幂律模型可分为两大类:维尔斯特拉斯族模型和朗道族模型，前者可以通过重整化群方法导出，而后者则是在临界点附近的各级朗道展开近似。
对数周期性幂律模型在股市中的应用，最早在1995年由两个小组独立提出，并在泡沫湮没时间预测和反泡沫走势预测方面取得了不少成功，如口木口经指数反泡沫、英国房地产泡沫、中国股市反泡沫等。
一是对数周期性振荡，在线性尺度下，越接近临界时间，振荡频率越快，但在对数尺度下，振荡频率为常数;
二是幂律增长，或称超指数增长，即价格的增长率不是常数，而是单调递增。
1.不断变化样本数据起始点tstart与终止点tend，从而形成样本数据系列（tstart，tend）。对于每一个样本系列，我们可得到LPPL模型参数的估计值（A，B，C，tc，m,ω,φ）。为了确保每一系列样本点以及估计的数量足够多，我们每隔=5个交易日变换一次tstart及tend，同时确保tend与tstart的间隔不低于100个交易日。
2.给出tc的置信区间（20，80），从而判断泡沫破裂的可能时间点。
3.画出10条均方差最小的模拟路径，即我们认为未来最有可能发生的路径。
LPPL模型中共有7个参数需要估计，即（A，B，C，tc，m,ω,φ），其中4个非线性参数（tc，m,ω,φ），三个线性参数（A，B，C）。为了降低参数拟合的数量，同时也为了确保参数估计的稳定性，我们可以将线性参数表示成非线性参数估计值的表达式，从而只需估计非线性参数即可。我们可以将LPPL模型简化为
ln p(t)=A+Bf(t)+Cg(t)
则线性参数（A，B，C）可以通过如下方程来求解：
至于非线性参数的估计，我们只需利用非线性最优化求解即可。
