開映射定理
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在泛函分析中，開映射定理是指如果巴拿赫空間之間的連續函數是滿射的，那麼它就是一個開映射。更加精確地:
如果X和Y是巴拿赫空間，A : X → Y是一個滿射的連續線性運算元，那麼A就是一個開映射（也就是說，如果U是X內的開集，那麼A(U)在Y內是開放的）。
該定理的證明用到了貝爾綱定理，X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦範空間，那麼定理的結論就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空間，那麼定理的結論仍然成立。
開映射定理有一些重要的推論：
如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性運算元，那麼反函數A-1 : Y → X也是連續的。
如果A : X → Y是巴拿赫空間X和Y之間的線性運算元，且如果對於X內的每一個序列(xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y = 0，那麼A就是連續的（閉圖像定理）。
我們需要證明，如果A : X → Y是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。
設U，V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數kU的序列的並集，k ∈ N，且由於A是滿射， 
根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k > 0，使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B(c, r)，其中心為c，半徑r > 0，包含在A(kU)的閉包內。如果v ∈ V，那麼c + rv和c位於B(c, r)內，因此是A(kU)的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是
的極限點。根據A的線性，這意味著任何
都位於A(δ1 U)的閉包內，其中δ = r / (2k)。於是可以推出，對於任何
和任何ε > 0，都存在某個
，滿足：
且 
固定y\in V。根據(1)，存在某個x_1，滿足 | | x1 | | 且||y − A x1||<δ / 2。定義序列{xn}如下。假設：
且 
根據(1)，我們可以選擇xn + 1，使得：
且 
因此xn + 1滿足(2)。設
從(2)的第一個不等式可知，{sn}是一個柯西序列，且由於X是完備的，sn收斂於某個。根據(2)，序列Asn}}趨於y，因此根據A的連續性，有Ax=y。而且：
這表明每一個
都屬於A(2U)，或等價地，X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2)V。因此，A(U)是Y內0的鄰域，定理得證。
X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合：
設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果A : X → Y是一個連續線性運算元，那麼要麼A(X)是Y內的貧集，要麼A(X) = Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。
更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那麼A有一個標準分解，形如下式：
其中X / N是X對閉集N的商空間（也是F空間）。商映射X → X / N是開放的，且映射α是拓撲向量空間的同構。
