平穩時間序列預測法

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

平穩時間序列預測法概述

　　1、時間序列 $Y t$ 取自某一個隨機過程，如果此隨機過程的隨機特征不隨時間變化，則稱過程是平穩的；假如該隨機過程的隨機特征隨時間變化，則稱過程是非平穩的。

　　2、寬平穩時間序列的定義：設時間序列 $y t$ ，對於任意的t,k和m，滿足：

　　 $E (y t) = E (y t + m)$

　　 $c o v (y t, y t + k) = c o v (y t + m, y t + m + k)$

　　則稱 $y t$ 寬平穩。

　　3、Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統計預測方法。他們的工作為實際工作者提供了對時間序列進行分析、預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規、結構化的建模方法，並且具有統計上的完善性和牢固的理論基礎。

　　4、ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR：Auto-regressive），移動平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。

　　（1）自回歸模型AR(p)：如果時間序列 $y t$ 滿足

　　 $y_t=\phi_1 y_{t-1}+\ldots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t$

　　其中 $ε t$ 是獨立同分佈的隨機變數序列，且滿足：

　　 $E(\epsilon_t)=0,Var(\epsilon_t)=\sigma^2_\epsilon>0$

　　則稱時間序列 $y t$ 服從p階自回歸模型。或者記為 $φ(B) y t = y t - k$ 。

　　平穩條件：滯後運算元多項式 $\phi(B)=1-\phi_1 B+\ldots+\phi_p B^p$ 的根均在單位圓外，即 $φ(B) = 0$ 的根大於1。

　　（2）移動平均模型MA(q)：如果時間序列 $y t$ 滿足：

　　 $y_t=\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\ldots-\theta_q\epsilon_{t-q}$

　　則稱時間序列服從q階移動平均模型。或者記為 $y t = θ(B)ε 1$ 。

　　平穩條件：任何條件下都平穩。

　　（3）ARMA(p,q)模型：如果時間序列 $y t$ 滿足

　　 $y_t=\phi_1 y_{t-1}+\ldots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t-\theta_1\epsilon_{t-1}-\ldots-\theta_q\epsilon_{t-q}$

　　則稱時間序列 $y t$ 服從(p,q)階自回歸移動平均模型。或者記為 $φ(B) y t = θ(B)ε t$ 。

　　特殊情況：q=0,模型即為AR(p)，p=0, 模型即為MA(q)。

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時間序列的自相關分析

　　1、自相關分析法是進行時間序列分析的有效方法，它簡單易行、較為直觀，根據繪製的自相關分析圖和偏自相關分析圖，我們可以初步地識別平穩序列的模型類型和模型階數。利用自相關分析法可以測定時間序列的隨機性和平穩性，以及時間序列的季節性。

　　2、自相關函數的定義：滯後期為k的自協方差函數為： $r k = c o v (y t - k, y t)$ ，則 $y t$ 的自相關函數為： $\rho_k=\frac{r_k}{\sigma_{y_{t-k}}\sigma_{y_t}}$ ，其中 $\sigma^2_{y_t}=E(y_t-E(Y_t))^2$ 。當序列平穩時，自相關函數可寫為： $\rho_k=\frac{r_k}{r_o}$ 。

　　3、樣本自相關函數為： $\hat{\rho_k}=\frac{\sum^{n-k}_{t=1}(y_t-\bar{y})(y_{t+k}-\bar{y})}{\sum{n}{t=1}(y_t-\bar{y})^2}$ ，其中 $\bar{y}=\sum{n}{t=1}y_t/n$ ，它可以說明不同時期的數據之間的相關程度，其取值範圍在-1到1之間，值越接近於1，說明時間序列的自相關程度越高。