圖靈完備語言
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2024 年 04 月 24 日 星期三
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如果一個電腦語言具有圖靈完備性（Turing Completeness），那麼這個語言就是圖靈完備語言（Turing-complete language）。
艾倫·麥席森·圖靈（Alan Mathison Turing，1912.6.23 - 1954.6.7），英國數學家、邏輯學家、密碼學家和英國首位電腦科學家，被譽為電腦科學和人工智慧之父。
他對電腦科學的發展有著很高的影響力，他用圖靈機提供了演算法和計算概念的形式化，圖靈機可以被視為通用電腦的模型。他的圖靈測試對人工智慧的發展，作出了重要的、典型的、具挑戰性的和持久的貢獻。
在 1928 年第八屆國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了關於數學的三個精辟問題：
- First, was mathematics complete …（數學是完備的嗎？）
- Second, was mathematics consistent …（數學是一致的嗎？）
- And thirdly, was mathematics decidable ?（數學是可判定的嗎？）
希爾伯特的第三個問題又被稱為判定性問題（Entscheidungsproblem）。為了證否這個命題，1936 年，圖靈發表了一篇論文，題為《論可計算數，及其在判定性問題上的應用》（On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem）。在這篇論文里，圖靈提出了一種假設的計算裝置，他稱之為 A-Machine（Automatic Machine，自動機器），這就是圖靈機（Turing Machine）。
1938 年，在美國普林斯頓大學攻讀博士學位的圖靈，發表了一篇博士論文，題為《基於序數的邏輯系統》（Systems of Logic Based on Ordinals）。在這篇論文里，圖靈定義了可計算函數（Computable function）：
- A function is effectively calculable if its values can be found by some purely mechanical process.
- 如果一個函數的值可以通過某種純機械的過程找到，那麼這個函數就可以有效地計算出來。
在作為特定計算模型的圖靈機上產生的可計算函數，就被稱為圖靈可計算函數。
如果一個計算系統可以計算每一個圖靈可計算函數，那麼這個系統就是圖靈完備的；或者說，這個系統可以模擬通用圖靈機。
圖靈完備性也可以用來描述電腦語言的計算能力。
具有圖靈完備性的電腦語言，就被稱為圖靈完備語言。絕大多數的編程語言，都是圖靈完備語言。這包括：
- 廣泛使用的所有通用語言：
- 過程式語言，如 FORTRAN、Pascal 等。
- 面向對象語言，如 Java、Python 等。
- 多範式語言，如 Ada、C++ 等。
- 使用不太常見範式的大多數語言：
- 函數式語言，如 Haskell、Mercury 等。
- 邏輯式語言，如 Logtalk、Prolog 等。
- 聲明式語言，如 SQL、XSLT 等。
- 深奧的語言（Esoteric programming language），一種奇特的數學娛樂形式，程式員用極其困難但數學上圖靈等價的語言來實現基本的編程結構。
並非所有的電腦語言都是圖靈完備的，例如標記語言，或者更恰當地稱為“容器語言”或“數據描述語言”，就不是圖靈完備的。
非圖靈完備語言（Non-Turing-complete language），包括 HTML、JSON、XML、YAML 等。
