法伊特﹣湯普森定理

出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

法伊特﹣湯普森定理(Feit-Thompson theorem)

　　在數學里，法伊特﹣湯普森定理是指由瓦爾特•法伊特（Walter Feit）和約翰•格裡格斯•湯普森證明的每一個奇階的有限群都是可解群。

　　威廉•伯爾尼賽德推測每個非阿貝爾單群都會有偶數的階。理查德•布勞爾假定此為真來做為有限單群分類的一個基礎，並證明出若一個對合的中心化子為已知的話，則一個有限簡單群通常可以被確定。一個奇階的群沒有對合，所以要實行布勞爾的計劃，首先必須要證明出非迴圈有限簡單群絕對不會是奇階的。這和證明出奇階的群都是可解的是等價的，而這也正是法伊特和湯普森所證明出的。

　　對伯爾尼賽德推測的著手證明開始於鈴木通夫，他研究著CA群──會使得每個非當然元素之中心化子（Centralizer）都是可換（Abelian）的群。在一個前瞻性的論文中，他證明出了所有奇階的CA群都會是可解的。（他隨後將所有的簡單CA群做了分類，且更一般性地將其中存在任一個有著正規2-西羅子群之對合中心化子的所有簡單群分類，併在此過程中找到了李型單群的一種粗略類型，其現稱之為鈴木群。）

　　法伊特、霍爾和湯普森將鈴木的成果擴展到了CN群的範圍內──其為會使每個非當然元素的中心化子（Centralizer）都是冪零（Nilpotent）的群。他們證明出了每個奇階的CN群都是可解的。法伊特﹣湯普森定理可以被想做是這個過程中的下一個步驟：他們證明出了不存在每個子群都是可解的奇階非迴圈單群。（這證明出了每個奇階群都是可解的，以其最小反例必須要有一個能使每個子群都是可解單群。）雖然其證明和CA定理與CN定理的大綱是相同的，但其細節確更為極度的複雜。

　　要完全地瞭解這個證明必須要花費職業的群論學家約一年很努力的時間，所以下麵的大綱不可能以太嚴格的方式來寫。除了直接描述法伊特﹣湯普森定理之外，以描述鈴木的CA定理且再加註一些需要的延伸的方式會比較簡單。這個證明可以分成三步。令G是一個滿足CA條件的奇階單群。

　　第1步對群G結構的局部分析：這在CA條件下是簡單的，因為a和b可換之關係是一個在非單位元素上的等價關係。所以這些元素可以分成數個等價類，其中的每個等價類都是最大阿貝爾子群內之非單位元素所組成的集合。最大阿貝爾子群的正規化子會是G的最大純子群。在原本的論文里，最大純子群的分析花了約100頁之多，而不只幾行而已，並且產生了5種極複雜的可能結構。

　　第2步G的特征理論：若X是CA群G的最大阿貝爾子群A的一個不可約特征，可以將X導致一個G的特征Y，但不一定會是不可約的。因為G的已知結構，很容易地便可以將於除了單位元之所有G的元素上的Y的特征值找出來。這表示若X₁和X₂是A的兩個特征，且Y₁和Y₂是其相對應的特征，則Y₁ − Y₂

　　會是完全可知的，且計算其賦範可證明這在G內兩個不可約特征的差。（這有時會被稱做是G的例外特征。）在此，將G的一個不可約特征與A的一個不可約特征相鏈接是有可能的。一個計數的論述表示可以從G的最大阿貝爾子群的不可約特征中得出G的所有不可約特征（除了當然特征之外）。

　　在法伊特﹣湯普森定理里，由子群的特征中建構出G的特征之論述會遠比上述的更為棘手，因為其子群的結構會更為複雜。

　　第3步：由第2步可以得到對CA群G的特征理論的一個完整且精確的描述。由此可以很容易地得出G同時為奇階及單群的矛盾。

　　在法伊特﹣湯普森定理里，事情（一般）都會更加極度地複雜。特征理論只排除了第1步中5種可能結構的其中四種。要排除最後一個可能，必須要對群的展現一些複雜到很恐怖的操作。這一部份被認為是這個證明裡最困難且最神秘的一個部份。