预流推进

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　　预流推进为网络流算法中的一种较为高效的一种算法，是最高标号法的基础。可以想象在一个自来水管网的源头尽可能多的注入水流之后，最多有多少水可以流到汇点去，由网络的各个节点和管道来约束流量。将每个节点都看成一个水站，他的通过能力是有限的不能通过的水只能退回去。

　　预流推进算法给每一个顶点一个标号h(v)，表示该点到t的最短路（在残量网络中）。

　　第一步hights()过程，就是BFS出初始最短路，计算出每一个结点的h(v)。//可以看作是汇点有“吸力”，使每个结点有不同的负压，在“负压”作用下把来自源点的流吸过去。

　　预流推进算法的特征是运用了预流来加快运算。预流说明图中的结点(除s, t)，仅需要满足流入量 >= 流出量。其中流入量>流出量的结点，我们称之为活动结点。/*换句话说就是有流可吸，还没吸到地方。*/我们的算法就是不断地将活动结点，变为非活动结点，使得预流成为可行流。

　　算法过程prepare()，即首先将与s相连的边设为满流，并将这时产生的活动结点加入队列Q。这是算法的开始。

　　以后便重复以下过程直到Q为空：

　　(1).选出Q的一个活动结点u。并依次判断残量网络G'中每条边(u, v)，若h(u) = h(v) + 1，则顺着这些边推流，直到Q变成非活动结点（不存在多余流量）。(Push推流过程)//同时把所有v加入活动结点的队列。

　　(2).如果u还是活动结点。则需要对u进行重新标号：h(u) = min{h(v) + 1}，其中边(u,v)存在于G' 中。然后再将u加入队列。(reCalc过程)//后面都满流时就吸不动了，负压自然也要重新计算。

　　可以证明，通过以上算法得到的结果就是最大流。

　　显然每次循环后标号和残量网络都是相容的。算法结束时Q为空，只可能是没有活动结点。因为一开始就把从源所有的流推了出来，只可能是要么能够推到汇要么最后退回源。显然，一开始源的标号最高，退回源说明源汇之间已被切断，否则总能杀出一条增广路来。

　　如果该算法的Q是标准的FIFO队列，则时间复杂度为(n2m)，/*最高标号不会超过n（超过时必无到汇的路径），所以n个点每个最多重新标号n次，两次标号之间m条边每条最多推流一次。*/如果是优先队列，并且标号最高的点优先的话，我们就得到了最高标号预流推进算法，其时间复杂度仅为(n2sqrt(m))，/*复杂度分析进行中……*/算是比较快的最大流算法了。