高斯积分

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什么是高斯积分

　　高斯积分是指依德国数学家兼物理学家卡尔•弗里德里希•高斯之姓氏所命名。 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ 高斯积分在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。

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高斯积分的内容

　　任何高斯函数的积分均可简化为含高斯积分的项。

　　 $\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}\,dx.$

　　常数 $a$ 可以被提出积分。使用 $y + b$ 来取代 $x$ 获得

　　 $a\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/c^2}\,dy.$

　　使用 $c z$ 来取代 $y$ 取得

　　 $ac\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz=ac\sqrt{\pi}.$

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高斯积分通过极限求解

　　要找到高斯积分的闭合形式首先从一个近似函数开始：

　　 $I(a)=\int_{-a}^a e^{-x^2}dx.$

　　通过

　　 $\lim_{a\to\infty} I(a) = \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx.$

　　可以找到积分。对 $I$ 取平方获得

　　 $I^2(a)= \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right )\cdot \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )= \int_{-a}^a \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )\,e^{-x^2}\, dx = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.$

　　使用富比尼定理以上双重积分可以被看作是直角坐标系上一个顶点为{(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)}的正方形的面积积分 $\int e^{-(x^2+y^2)}\,d(x,y)$ 。

　　由于对任何实数来说指数函数均大于0，因此对于这个正方形内的内切圆的积分必须小于 $I (a) 2$ 。类似地正方形的外接圆积分必须大于 $I (a) 2$ 。通过从直角坐标系转化到极坐标系 $x=r\,\cos \theta$ , $y= r\,\sin\theta$ , $d(x,y) = r\, d(r,\theta)$ 对这两个圆面的积分可以简单地计算出来：

　　 $\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta.$

　　对

　　 $\pi (1-e^{-a^2}) < I^2(a) < \pi (1 - e^{-2a^2}).$

　　积分。

　　使用夹挤定理获得高斯积

　　 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.$

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高斯积分与Γ函数的关系

　　由于被积分的函数是一个奇函数与偶函数|偶函数，

　　 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx$

　　通过替代变量它可以变成一个欧拉积分

　　 $\int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$

　　这里Γ是Γ函数。这说明了为什么一个半整数的阶乘是 $\sqrt \pi$ 地倍数。更广义地，

　　 $2\int_0^\infty e^{-ax^b} dx = a^{-1/b} \, \Gamma\left(1-\frac{1}{b}\right).$

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高斯积分的n维和一般化

　　令 $A$ 为一个对称的、正的、可逆的、二维协变的张量，则

　　 $\int e^{-\frac{A_{ij} x^i x^j}{2}} d^nx=\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}$

　　这里的积分是对Rⁿ的。这个事实可用来研究多元正态分布。

　　同样，

　　 $\int x^{k_1}\cdots x^{k_{2N}} e^{-\frac{A_{ij} x^i x^j}{2}} d^nx=\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}\frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})^{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}}\cdots (A^{-1})^{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}$

　　这里σ是{1, ..., 2N}的排列。右侧的特殊因子是A⁻¹的 $N$ 个{1, ..., 2N}的成对的结合。

　　或者，

　　 $\int f(\vec{x})e^{-\frac{1}{2}A_{ij}x^i x^j} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det{A}}\left. \exp\left({1\over 2}(A^{-1})^{ij}{\partial \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^j}\right)f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}$

　　以上积分适合于一些符合在其增长上有一定限度的和其他技术要求的解析函数。对微分算子上的幂被看作是一个幂级数。

　　一般函数积分没有明确的定义，但是高斯积分可以类似有限维情况被定义。虽然如此依然有 $(2\pi)^\infty$ 无穷大的问题，而且函数行列式一般也无穷大。但假如我们只考虑

　　 $\frac{\int f(x_1)\cdots f(x_{2N}) e^{-\iint \frac{A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2})}{2} d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f}{\int e^{-\iint \frac{A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2})}{2} d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f},$

　　 $=\frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma(2N-1)},x_{\sigma(2N)}).$

　　这个问题可以解决。

　　使用德维特写法这个公式与有限维情况看上去一样。

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高斯积分带线性项的n维

　　A依然是一个对称矩阵，则

　　 $\int e^{-A_{ij} x^i x^j+B_i x_i} d^nx=\sqrt{ \frac{\pi^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{4}B^TA^{-1}B}.$

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高斯积分提出者人物简介

　　德国布隆斯威克人。德国的数学家、物理学家和天文学家。高斯幼年时就显示出非凡的数学才能，得到Carl Wil-helm Ferdinand大公的赏识。在大公的支持下，1795—1798年在哥廷根(Gottingen)大学学习，1799年因证明代数学的基本定理而获得哈勒(Halle)大学的博士学位。从1807年到1855年逝世，一直担任哥廷根天文台台长兼大学教授。1796年用直尺圆规作出了正十七边形一自欧几里得以来两千年间几何作图的一个难题。接着又证明了数论中的欧勒猜想—二次互反律。据说从此后他决心放弃古典文学而献身于数学。1801年用自己的行星轨道计称法和最小二乘法算出了意大利天文学家皮亚齐 (1746—1826) 发现的谷神星轨道; 谷神星的轨道计算使他一举名震世界。同年，出版经典著作《算术研究》，任职期间，高斯致力于数论、代数、几何、分析、复变函数、统计数学等多方面的研究、取得了一系列的成果。高斯定理、高斯公式、高斯函数等以他命名的多种发现至今仍在许多数学、科学部门中闪烁着光辉。高斯还涉足了大地测量工作。为了进行长距离测量，发明了“目光反射器”，并在理论上创造了“大地问题解法”，导致他开创了曲面微分几何的理论。并由他的学生黎曼发展为黎曼几何。与德国的物理学家韦伯(wilhelm Eduavd Weber，1804—1891)一道建立了电磁学中的高斯单位制; 1833年还和韦伯一起发明了电磁电极。高斯的治学态度十分严谨。他的格言是 “瑰丽的大厦建成后，应拆除杂乱无章的脚手架。” 因此他发表的每篇著作都是经过仔细推敲、无懈可击的精品。因此，发表的论文比研究工作要少得多，但研究项目可在日记和书信中见到。全集包括日记、书信共计12卷。他是19世纪前半世纪最伟大的数学家。

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