高斯积分

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什么是高斯积分

  高斯积分是指依德国数学家兼物理学家卡尔•弗里德里希•高斯之姓氏所命名。\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}高斯积分在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数,但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。

高斯积分的内容

  任何高斯函数的积分均可简化为含高斯积分的项。

  \int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}\,dx.

  常数a可以被提出积分。使用y + b来取代x获得

  a\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/c^2}\,dy.

  使用cz来取代y取得

  ac\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz=ac\sqrt{\pi}.

高斯积分通过极限求解

  要找到高斯积分的闭合形式首先从一个近似函数开始:

  I(a)=\int_{-a}^a e^{-x^2}dx.

  通过

  \lim_{a\to\infty} I(a) = \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx.

  可以找到积分。对I取平方获得

  I^2(a)=  \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right )\cdot \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )= \int_{-a}^a \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )\,e^{-x^2}\, dx = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.

  使用富比尼定理以上双重积分可以被看作是直角坐标系上一个顶点为{(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)}的正方形的面积积分\int e^{-(x^2+y^2)}\,d(x,y)

  由于对任何实数来说指数函数均大于0,因此对于这个正方形内的内切圆的积分必须小于I(a)2。类似地正方形的外接圆积分必须大于I(a)2。通过从直角坐标系转化到极坐标系x=r\,\cos \theta, y= r\,\sin\theta, d(x,y) = r\, d(r,\theta)对这两个圆面的积分可以简单地计算出来:

  \int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta.

  对

  \pi (1-e^{-a^2}) < I^2(a) < \pi (1 - e^{-2a^2}).

  积分。

  使用夹挤定理获得高斯积

  \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.

高斯积分与Γ函数的关系

  由于被积分的函数是一个奇函数与偶函数|偶函数,

  \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx

  通过替代变量它可以变成一个欧拉积分

  \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)

  这里Γ是Γ函数。这说明了为什么一个半整数的阶乘是\sqrt \pi地倍数。更广义地,

  2\int_0^\infty e^{-ax^b} dx = a^{-1/b} \, \Gamma\left(1-\frac{1}{b}\right).

高斯积分的n维和一般化

  令A为一个对称的、正的、可逆的、二维协变的张量,则

  \int e^{-\frac{A_{ij} x^i x^j}{2}} d^nx=\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}

  这里的积分是对Rn的。这个事实可用来研究多元正态分布。

  同样,

  \int x^{k_1}\cdots x^{k_{2N}} e^{-\frac{A_{ij} x^i x^j}{2}} d^nx=\frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det{A}}}\frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})^{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}}\cdots (A^{-1})^{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}

  这里σ是{1, ..., 2N}的排列。右侧的特殊因子是A−1N个{1, ..., 2N}的成对的结合。

  或者,

  \int f(\vec{x})e^{-\frac{1}{2}A_{ij}x^i x^j} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det{A}}\left. \exp\left({1\over 2}(A^{-1})^{ij}{\partial \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^j}\right)f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}

  以上积分适合于一些符合在其增长上有一定限度的和其他技术要求的解析函数。对微分算子上的幂被看作是一个幂级数。

  一般函数积分没有明确的定义,但是高斯积分可以类似有限维情况被定义。虽然如此依然有(2\pi)^\infty无穷大的问题,而且函数行列式一般也无穷大。但假如我们只考虑

  \frac{\int f(x_1)\cdots f(x_{2N}) e^{-\iint \frac{A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2})}{2} d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f}{\int e^{-\iint \frac{A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2})}{2} d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}} \mathcal{D}f},

  =\frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma(2N-1)},x_{\sigma(2N)}).

  这个问题可以解决。

  使用德维特写法这个公式与有限维情况看上去一样。

高斯积分带线性项的n维

  A依然是一个对称矩阵,则

  \int e^{-A_{ij} x^i x^j+B_i x_i} d^nx=\sqrt{ \frac{\pi^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{4}B^TA^{-1}B}.

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