分枝界限法

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分枝界限法(Branch and Bound Method)

　分枝界限法是由三栖学者查理德·卡普（Richard M.Karp）在20世纪60年代发明，成功求解含有65个城市的旅行商问题，创当时的记录。“分枝界限法”把问题的可行解展开如树的分枝，再经由各个分枝中寻找最佳解^[1]。

　　分枝界限法也能够使用在混合整数规划问题上，其为一种系统化的解法，以一般线性规划之单形法解得最佳解后，将非整数值之决策变量分割成为最接近的两个整数，分列条件，加入原问题中，形成两个子问题(或分枝)分别求解，如此便可求得目标函数值的上限（上界）或下限（下界），从其中寻得最佳解^[2]。

　　1、基本思想

　　分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索。该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集（称为分支），并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界（称为定界）。在每次分支后，对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑了，从而缩小了搜索范围。这一过程一直进行到找出可行解为止，该可行解的值不大于任何子集的界限。因此这种算法一般可以求得最优解。

　　将问题分枝为子问题并对这些子问题定界的步骤称为分枝定界法。

　　2、分枝节点的选择

　　对搜索树上的某些点必须作出分枝决策，即凡是界限小于迄今为止所有可行解最小下界的任何子集（节点），都有可能作为分枝的选择对象（对求最小值问题而言）。怎样选择搜索树上的节点作为下次分枝的节点呢？有两个原则：

　　1）从最小下界分枝（队列式FIFO分枝限界法）：每次算完界限后，把搜索树上当前所有叶节点的界限进行比较。找出限界最小的节点，此结点即为下次分枝的结点。

• 优点：检查子问题较少，能较快地求得最佳解；
• 缺点：要存储很多叶节点的界限及对应的耗费矩阵，花费很多内存空间。

　　2）从最新产生的最小下界分枝（优先队列式分枝限界法）：从最新产生的各子集中选择具有最小的下界的结点进行分枝。

优点：节省了空间； 缺点：需要较多的分枝运算，耗费的时间较多。

　　这两个原则更进一步说明了，在算法设计中的时空转换概念。

　　分枝定界法已经成功地应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、货郎担问题、选址问题、背包问题以及可行解的数目为有限的许多其它问题。对于不同的问题，分枝与界限的步骤和内容可能不同，但基本原理是一样的。

　　分枝界限法是组合优化问题的有效求解方法，其步骤如下所述：

　　步骤一：如果问题的目标为最小化，则设定目前最优解的值Z=∞

　　步骤二：根据分枝法则（Branching rule），从尚未被洞悉（Fathomed）节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的节点。

　　步骤三：计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）

　　步骤四：对每一节点进行洞悉条件测试，若节点满足以下任意一个条件，则此节点可洞悉而不再被考虑：

• 此节点的下限值大于等于Z值。
• 已找到在此节点中，具最小下限值的可行解；若此条件成立，则需比较此可行解与Z值，若前者较小，则需更新Z值，以此为可行解的值。
• 此节点不可能包含可行解。

　　步骤五：判断是否仍有尚未被洞悉的节点，如果有，则进行步骤二，如果已无尚未被洞悉的节点，则演算停止，并得到最优解。

　　Kolen等曾利用此方法求解含时间窗约束的车辆巡回问题，其实验的节点数范围为6-15。当节点数为6时，计算机演算所花费的时间大约1分钟（计算机型为VAZ11/785），当节点数扩大至12时，计算机有内存不足的现象产生，所以分枝定界法比较适用于求解小型问题。Held和Karp指出分枝定界法的求解效率，与其界限设定的宽紧有极大的关系。

　　1、型推销员问题

　　设有5个城v₁,v₂,v₃,v₄,v₅ ,从某一城市出发，遍历各城市一次且仅一次，最后返回原地，求最短路径。其费用矩阵如下：

　　将矩阵D对角线以上的元素从小到大排列为：

　　d₁₃,d₁₅,d₂₄,d₄₅,d₃₄,d₃₅KKKK

　　取最小的5个求和得：d₁₃ + d₁₅ + d₂₄ + d₄₅ = 14

　　用表示，要构成一个回路，所以每个顶点的下标在回路的所有边中各出现两次。（1）中显然5出现了3次，若用d₃₅代替d₁5则d₁₃ + d₃₅ + d₂₄ + d₂₅ + d₄₅ = 21即

　　搜索过程可以表示如下图：

　　图（2）的下界为21，图（3）的下界为20，都大于19故没有进一步搜索的价值，因此（5）为最佳路径：

　　2、型推销员问题

　　D = (d_ij)n ^* n即。不妨把D看成旅费，即从v_i到v_j的旅费与v_j到v_i不一样。

　　对D的每行减去该行的最小元素，或每列减去该列的最小元素，得一新矩阵，使得每行每列至少都有一个0元素。

　　第一列和第三列没有为0的元素，所以第一列和第三列分别减去其最小元素1和3得：

　　由于从任一v_i出发一次，进入v_i也是一次，所以问题等价于求 的最佳路径，下标45是估计的界，即旅费起码为45单位（每个点出发都去最小值）。

　　由于矩阵D第一行第四列元素为0，故从v₁出发的路径应选择v₁ − − v₄，为了排除v₁出发进入其他点和从其他点进入v₄的可能，并封锁v₄到v₁的路径，在矩阵中除去第一行和第四列，并将第四列第一行元素15改为∞。得：

　　类似的从v₂出的路径应选v₂ − − v₅，消第v₂行和第v₅列，并将第v₅行第v₂列元素改为∞得：

　　这时第二行没有0元素，减去最小元素3得： 　　

　　搜索过程如下图：

　　最后得到最佳路径为：

　　1、算法优点：可以求得最优解、平均速度快。

　　因为从最小下界分支，每次算完限界后，把搜索树上当前所有的叶子结点的限界进行比较，找出限界最小的结点，此结点即为下次分支的结点。这种决策的优点是检查子问题较少，能较快的求得最佳解。

　　2、缺点：要存储很多叶子结点的限界和对应的耗费矩阵。花费很多内存空间。

　　存在的问题：分支定界法可应用于大量组合优化问题。其关键技术在于各结点权值如何估计，可以说一个分支定界求解方法的效率基本上由值界方法决定，若界估计不好，在极端情况下将与穷举搜索没多大区别。