凸包
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凸包（Convex hull）
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在了解凸包之前，须先认识何谓“凸多边形”(Convex Polygon)。从直观上说，一个凸多边形就是没有任何凹陷位的多边形。我们在低年级数学所学习的三角形、正方形、长方形、平行四边形、正五边形、正六边形等等，都是凸多边形的例子。但是以下这个“凸”字形却并非凸多边形，因为箭头指着的地方实际是一个凹陷位。
可是上述这一定义很不严密，究竟何谓“凹陷位”？实在难以说清楚。因此在数学上，凸多边形有另一个严格的定义。假设我们在一个多边形上(包括多边形的边界及边界围封的范围)任意取两点并以一条线段连结该两点，如果线段上的每一点均在该多边形上，那么我们便说这个多边形是凸的。根据以上定义，我们便可判断“凸”字形的确不是凸的。例如，在下图中，连结A、B两点的线段有一部分并不在该多边形上。
认识了凸多边形后，我们便可了解何谓凸包。给定平面上的一个(有限)点集(即一组点)，这个点集的凸包就是包含点集中所有点的最小面积的凸多边形。例如，下图的点集共包含9个点，图中的六边形便是该点集的凸包。其中构成六边形的6个点称为“凸包上的点”(Hull Point)，其余3个点则并非“凸包上的点”。请注意上述定义中“最小面积”这个限制条件，因为除了凸包以外，还有无限多个包含点集中所有点的凸多边形。例如，只要画一个面积足够大的四边形，便可包围任意给定的点集。因此假如没有这个限制条件，求凸包就变成非常容易但却没有唯一解的运算。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(
)的线性组合来构造。
![S:=\begin{Bmatrix} \sum_{j=1}^nt_jx_j|x_j\in X,\sum_{j=1}^nt_j=1,t_j\in[0,1] \end{Bmatrix}](/w/images/math/d/9/b/d9b608cdd3c4ab201af1a906d5ac7fb2.png)
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
增量式算法1
逐次再点加入，然后检查之前的点是否在新的凸包上。由于每次都要检查所有之前的点，时间复杂度为O(n2)。
包裹法(Jarvis步进法)
首先由一点必定在凸包的点开始，例如最左的一点A1。然后选择A2点使得所有点都在A1A2的右方，这步骤的时间复杂度是O(n)，要比较所有点以A1为原点的极坐标角度。以A2为原点，重复这个步骤，依次找到
。这总共有k步。因此，时间复杂度为O(n2)。
葛立恒扫描法
由最底的一点A1开始，计算它跟其他各点的连线和x轴的角度，按小至大将这些角度排序，称它们的对应点为
。这里的时间复杂度可达O(nlogn)。
考虑最小的角度对应的点A3。若由A2到A3的路径相对A1到A2的路径是向右转的（可以想象一个人沿A1走到A2，他站在A2时，是向哪边改变方向），表示A3不可能是凸包上的一点，考虑下一点由A2到A4的路径；否则就考虑A3到A4的路径是否向右转……直到回到A1。
这个算法的整体时间复杂度是O(nlogn)，注意每点只会被考虑一次，而不像Jarvis步进法中会考虑多次。
这个算法由葛立恒在1972年发明。[1]它的缺点是不能推广到二维以上的情况。
单调链
将点按x坐标的值排列，再按y坐标的值排列。
选择x坐标为最小值的点，在这些点中找出y坐标的值最大和y坐标的值最小的点。对于x坐标为最大值也是这样处理。将两组点中y坐标值较小的点连起。在这条线段下的点，找出它们之中y坐标值最大的点，又在它们之间找x坐标值再最小和最大的点……如此类推。
时间复杂度是O(n log n)。
分治法
将点集X分成两个不相交子集。求得两者的凸包后，计算这两个凸包的凸包，该凸包就是X的凸包。时间复杂度是O(n log n)。
快包法(Akl-Toussaint启发式)
选择最左、最右、最上、最下的点，它们必组成一个凸四边形（或三角形）。这个四边形内的点必定不在凸包上。然后将其余的点按最接近的边分成四部分，再进行快包法(QuickHull)。
- ↑ Graham,R.L.(1972).An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set.Information Processing Letters 1,132-133
