顺序统计量法

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顺序统计量法的定义

　　定义：设 $\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n$ 是总体 $ζ$ 的样本，将其按大小排列为

　　 $\zeta_1\le\zeta_2\le\ldots\le\zeta_n$

　　称 $\zeta_1^*,\zeta_2^*,\ldots,\zeta_n^*$ 为顺序统计量。

　　明显地， $\zeta_1^*$ 与 $\zeta_n^*$ 分别是样本 $\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n$ 的最小值与最大值。称

　　 $\overline{\zeta}=\begin{cases}\zeta_{k+1}^*,n=2k+1\\\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2},n=2k\end{cases}$

　　为样本中位数。

　　样本中位数的取值规则是：将样本值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 从小至大排成

　　 $x_1^*\le x_2^*\le\ldots\le x_n^*$

　　当n=2k+1时， $\overline{\zeta}$ 取居中的数据 $x^*_{k+1}$ 为其观测值；当n=2k时， $\overline{\zeta}$ 取居中的两个数据的平均值 $\frac{\zeta^*_k+\zeta^*_{k+1}}{2}$ 为其观测值.中位数 $\overline{\zeta}$ 带来了总体 $ζ$ 取值的平均数的信息，因此用 $\overline{\zeta}$ 估计总体 $ζ$ 的数学期望是合适的.

　　用样本中位数 $\overline{\zeta}$ 估计总体 $ζ$ 的数学期望的方法称数学期望的顺序统计量估计法.

　　顺序统计量估计法的优点是计算简便，且 $\overline{\zeta}$ 不易受个别异常数据的影响．如果一组样本值某一数据异常(如过于小或过于大)，则这个异常数据可能是总体 $ζ$ 的随机性造成的，也可能是受外来干扰造成的(如工作人员粗心，记录错误)，当原因属于后者，用样本平均值 $\overline{x}$ 估计E(x)显然受到影响，但用样本中位数 $\overline{\zeta}$ 估计E(x)时，由于一个(甚至几个)异常的数据不易改变中位数眚取值，所以估计值不易受到影响．