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双线性插值

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出自 MBA智库百科(https://wiki.mbalib.com/)

双线性插值(Bilinear interpolation)

目录

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什么是双线性插值

　　双线性插值又称为双线性内插.在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

　　红色的数据点与待插值得到的绿色点假如我们想得到未知函数f在点P=(x,y)的值，假设我们已知函数f在Q11 = (x1,y1)、Q12 = (x1.y2),Q21 = (x2,y1)以及Q22 = (x2,y2)四个点的值。

双线性插值图像

　　首先在x方向进行线性插值，得到

　　f(R_1)\approx\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})\quad where\quad R_1=(x,y_1)

　　f(R_2)\approx\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22})\quad where\quad R_2=(x,y_2)

　　然后在y方向进行线性插值，得到

　　f(P)\approx\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(R_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(R_2)

　　这样就得到所要的结果f(x,y)，

　　f(x,y)\approx\frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}(x_2-x)(y_2-y)+\frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}(x-x_1)(y_2-y)+\frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}(x_2-x)(y-y_1)+\frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}(x-x_1)(y-y_1)

　　如果选择一个坐标系统使得f的四个已知点坐标分别为(0,0)、(0,1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为

　　f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy)

　　或者用矩阵运算表示为

　　f(x,y)\approx\left[1-x\quad x\right]\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}

　　与这种插值方法名称不同的是，这种插值方法并不是线性的，它的形式是

　　(a1x + a2)(a3y + a4)

　　它是两个线性函数的乘积。另外，插值也可以表示为

　　b1 + b2x + b3y + b4xy

　　在这两种情况下，常数的数目]都对应于给定的f的数据点数目。

　　线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。

　　双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值。

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评论(共2条)

提示:评论内容为网友针对条目"双线性插值"展开的讨论，与本站观点立场无关。
123.235.4.* 在 2011年1月18日 16:49 发表

这里面是不是有错误呀。

回复评论
Yixi (Talk | 贡献) 在 2011年1月19日 11:50 发表

123.235.4.* 在 2011年1月18日 16:49 发表

这里面是不是有错误呀。

感谢您的指正，原文已修正。

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