連續複利收益率

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連續複利收益率(Continuously Compounded Rate of Return,CCR)

目錄

連續複利收益率概述[1]

  為介紹連續複利收益率的概念,首先討論複利次數與期末總資金間的關係。在單期 內,複利計息的次數愈多,期末總資金的累積也愈大,說明如下:

  若年收益率為14%,1000元資金投資兩年後的期末資金應為:

  1000(1+14%)2 = 1299.6(元)

  若每年內複利生息2次(每六個月複利一次),則期終資金為:

  1000(1+14%/2)^{2\times 2}=1301.8(元)

  若每年內複利生息4次,則期終資金為:

  1000(1+14%/4)^{2\times 4}=1316.8(元)

  所以,若以R代表年利率,m代表每期(每年)內的複利次數,n代表投資期限(n年),則以C0元投資n期(年)後所得的期末資金應為:

  C_n=C_0(1+\frac{R}{m})^{n\times m}

  式中,R/m代表小期內(In Asub-Period)的收益率。根據上式,可以分析連續複利收益率的概念以及計算方法。若將單一期(1年)內的複利次數(m)增加,則投資收益將會以更快的速度複利生息。也就是說,在單一期內複利生息的次數愈多,計算複利的期間也就愈縮短。當複利次數增至無限大時(m→∞),投資收益將在每一瞬息間複利生息。這種瞬息複利生息的複利稱為連複利生息(Continuously Compounding)。那麼連續複利會不會導致期末資金的無限大?運用高等數學的極限知識,有:

  \lim_{m\to \infty} (1+\frac{R}{m})^{nm}=\lim_{m\to \infty} [(1+\frac{1}{m/R})^{m/R}]^{nR}=e^{nR}

  所以,在持續複利生息下,C0元投資n期(年)後所得的期末資金應為:

  C_n=C_0 e^{n\times R}

  反之,假設R代表單一期收益率,能與單期複利生息產生相同期終資金的連續複利 報酬率R′應為:

  R′=ln(1+R)      (1)

  此處,ln代表自然對數函數,證明如下:

  以C0元投資一期,並複利計息一次的期末資金為:

  C1 = C0(1 + R)      (2)

  以連續複利生息一期所得的期終資金應為

  C1 = C0eR'      (3)

  (2)式等於(3)式,可得(1)式。所以,若單期收益率為R,則其對等的連續複利收益率應為(1+R)的自然對數,即ln(1+R)。

  連續複利收益率在投資研究的領域中運用十分廣泛。其原因之一在於,它的概率分佈較接近於正態分佈,對金融經濟學的理論發展與實際驗證的簡化具有相當大的幫助。

連續複利收益率、年度百分率與有效年利率

  • 連續複利收益率(Continuously compounded rate of return,CCR)
  • 年度百分率(annual percentage rate,APR)
  • 有效年利率(Effective Annual Rates,EAR)
  • T為持有期

  短期投資利率常用APR來表示,一年有n=1/T期,每期利率為RT,則

  APR=n\cdot R_T

  APR\cdot T=R_T

  1+EAR=(1+R_T)^n=(1+APR\cdot T)^{1/T}

  1+EAR=\lim_{T\to 0}(1+APR\cdot T)^{1/T}=e^{CCR}

  CCR = ln(1 + EAR)

參考文獻

  1. 孫伍琴,王朝暉,熊樂星.證券投資學.上海市:立信會計出版社,2008.
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