生長曲線(S曲線)預測法

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生長曲線(S曲線)預測法(Growth curve)

目錄

什麼是生長曲線(S曲線)預測法

  生長曲線預測法也稱生長曲線模型(Growth curve models)是預測事件的一組觀測數據隨時間的變化符合生長曲線的規律,以生長曲線模型進行預測的方法。一般來說,事物總是經過發生、發展、成熟三個階段,而每一個階段的發展速度各不相同。通常在發生階段,變化速度較為緩慢;在發展階段,變化速度加快;在成熟階段,變化速度又趨緩慢,按上述三個階段發展規律得到的變化曲線稱為生長曲線。

生長曲線預測模型[1]

  • 皮爾模型

  皮爾生長曲線的一般模型為

  \frac x{K}{1+e^{f(x)}}

  式中,K為常數(如某種耐用消費品飽和狀態時的普及率);f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n

  常用的皮爾生長曲線模型為

  y=\frac{K}{1+be^{-ax}}(2)  a>0,b>0

  這時f(x)是x的線性函數,且具有負斜率。見下圖是皮爾曲線模型的圖。

皮尔曲线模型的图

  • 林德諾模型

  常用於新技術發展和新產品銷售的一種預測方法。

  • 龔帕茲模型

  龔帕茲(生長)曲線是一種常用曲線,其形式為

  y=K\cdot a^{b^t} K>0,a<1,0<b<1  (11)

  對參數a、b、K的不同取值,龔帕茲模型有不同的形狀和變化趨勢。圖(a)為1n a<0,0<b<l時的龔帕茲曲線;圖(b)為1n a<0,b>1時的曲線;圖(c)為1n a>0,0<b<1時的曲線;圖(d)為ln a>0,b>1時的曲線。

Image:龚帕兹(生长)曲线.jpg

  給定時間序列y_i,i=1,2,\ldots,N),只要求得其中的三個參數值a、b、K,就可以用來求得未來周期的預測值。

  求參數a、b、K的方法有多種,如非線性回歸分析、特殊函數的最小二乘法等。這裡介紹一種比較簡單的方法,其步驟如下:

  (1)將N個數據分成三組(這裡假設N=3r);

  (2)求各組的yi值的對數和,即求:

  S_t=\sum_{i=1}^r\ln y_i,S_2=\sum_{i=r+1}^{2r}\ln y_i,S_3=\sum=_{i=2r+1}^{3r}\ln y_i

  (3)利用下列公式計算參數a、b、K的值;

  b^r=\frac{S_3-S_2}{S_2-S_1}(12)

  \ln a=\frac{(S_2-S_1)(b-1)}{(b^r-1)^2\cdot b}(13)

  \ln K=\frac{s_1-\frac{(b^r-1)\cdot b}{b-1}\cdot \ln a}{r}(14)

  (4)直接計算K值的公式為

  \ln K=\frac{\frac{1}{r}(S_1S_3-S_2^2)}{S_1+S_3-2S_2}(15)

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參考文獻

  1. 李華,胡奇英.預測與決策[M].ISBN:7-5606-1495-7/G303;C934.西安電子科技大學出版社.2005(05)
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