年金現值

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年金現值(Present value of annuity)

目錄

什麼是年金現值

  年金現值是指將在一定時期內按相同時間間隔在每期期末收入或支付的相等金額折算到第一期初的現值之和。

年金現值的計算

  年金現值是年金終值的逆計算。

  計算公式:

  P=A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

  年金現值因數:\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},是普通年金1元、利率為i、n期的年金現值,記作(P/A,i,n)。

  推導過程:P=A(1+i)^{-1}+A(1+i)^{-2}+\cdots+A(1+i)^{-(n-1)}+A(1+i)^{-n}……………………①

  將①式乘以(1+i),則:

  (1+i)P=A(1+i)^0+A(1+i)^{-1}+\dots+A(1+i)^{-(n-2)}+A(1+i)^{-(n-1)}………………………②

  ②-①,則:

  (1 + i)PP = AA(1 + i)n

  P(1 + i − 1) = A[1 − (1 + i)n]

  ∴P=A\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

  P=A\cdot(P/A,i,n)

計算年金現值的舉例

  普通年金現值是指一定時期內每期期末收付款項複利現值之和。普通年金的計算可用圖1表示。[1]

  年金现值

  例1:要得到按6%折現、期數為3、每期為1元的普通年金的現值,可按下列方法計算,如圖2所示:

  年金现值

  在第一期末收到1元的現值為0.943元,第二期末收到1元的現值為0.890元,第三期末收到到1元的現值為0.840。年金的現值就是各個現值的總和2.673元。

  年金現值P的計算公式是:

  =\frac{1}{(1+i)^{3}}+\frac{1}{(1+i)^{2}}+\frac{1}{(1+i)}=0.840+0.890+0.943=2.673(元)        上式可轉化為:

  \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}=\frac{1-0.83962}{0.06}=2.673(元)

  例2[1]租入某設備,每年年末需支付租金1200元,年複利率為10%,5年內應支付租金總額的現值是多少?

  P=1200\times [\frac{1-(1+10%)^{-5}}{10%}]=1200\times (P/A,10%,5)

  \approx 1200\times 3.7908\approx 4548(元)

  4548元是1200元租金年金按利率為10%五年期的現值。

  現實上,年金現值與年金是互為逆運算,若已知年金現值時,也可求得年金,計算公式為:

  A=P\cdot[\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}]

  式中\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}年金現值繫數的倒數,也稱資本回收繫數,因為這個繫數是計算資本回收額時使用的,而資本回收是指在給定期的年限內等額回收或清償初投入的資本或所欠的債務,資本回收額的計算實際上是已知年金現值求年金的形式。

  例:某企業以12%的年利率借款10萬元,投資於某個壽命為10年的項目,每年至少要收回多少現金才是有利的?

  A=100000\times\frac{12%}{1-(1+12%)^{-10}}=100000\times 0.177=17700(元)

  17700元是10萬元年金現值按利率12%十年期的年金,也是用10萬元借款投資十年期項目在利率12%的情況下每年至少要收回的現金金額。

年金現值繫數表

n1%2%3%4%5%6%8%10%12%14%15%16%18%20%22%24%25%30%35%40%45%50%
10.9900.9800.9700.9610.9520.9430.9250.9090.8920.8770.8690.8620.8470.8330.8190.8060.7990.7690.7400.7140.6890.666
21.9701.9411.9131.8861.8591.8331.7831.7351.6901.6461.6251.6051.5651.5271.4911.4561.441.3601.2891.2241.1651.111
32.9402.8832.8282.7752.7232.6732.5772.4862.4012.3212.2832.2452.1742.1062.0421.9811.9521.8161.6951.5881.4931.407
43.9013.8073.7173.6293.5453.4653.3123.1693.0372.9132.8542.7982.6902.5882.4932.4042.3612.1661.9961.8491.7191.604
54.8534.7134.5794.4514.3294.2123.9923.7903.6043.4333.3523.2743.1272.9902.8632.7452.6892.4352.2192.0351.8751.736
65.7955.6015.4175.2425.0754.9174.6224.3554.1113.8883.7843.6843.4973.3253.1663.0202.9512.6422.3852.1671.9831.824
76.7286.4716.2306.0025.7865.5825.2064.8684.5634.2884.1604.0383.8113.6043.4153.2423.1612.8022.5072.2622.0571.882
87.6517.3257.0196.7326.4636.2095.7465.3344.9674.6384.4874.3434.0773.8373.6193.4213.3282.9242.5982.3302.1081.921
98.5668.1627.7867.4357.1076.8016.2465.7595.3284.9464.7714.6064.3034.0303.7863.5653.4633.0192.6652.3782.1431.947
109.4718.9828.5308.1107.7217.3606.7106.1445.6505.2165.0184.8334.4944.1923.9233.6813.5703.0912.7152.4132.1681.965
1110.3679.7869.2528.7608.3067.8867.1386.4955.9375.4525.2335.0284.6564.3274.0353.7753.6563.1472.7512.4382.1841.976
1211.25510.5759.9549.3858.8638.3837.5366.8136.1945.6605.4205.1974.7934.4394.1273.8513.7253.1902.7792.4552.1961.984
1312.13311.34810.6349.9859.3938.8527.9037.1036.4235.8425.5835.3424.9094.5324.2023.9123.7803.2232.7992.4682.2041.989
1413.00312.10611.29610.5639.8989.2948.2447.3666.6286.0025.7245.4675.0084.6104.2643.9613.8243.2482.8142.4772.2091.993
1513.86512.84911.93711.11810.3799.7128.5597.6066.8106.1425.8475.5755.0914.6754.3154.0013.8593.2682.8252.4832.2131.995
1614.71713.57712.56111.65210.83710.1058.8517.8236.9736.2655.9545.6685.1624.7294.3564.0333.8873.2832.8332.4882.2161.996
1715.56214.29113.16612.16511.27410.4779.1218.0217.1196.3726.0475.7485.2224.7744.3904.0593.9093.2942.8392.4912.2181.997
1816.39814.99213.75312.65911.68910.8279.3718.2017.2496.4676.1275.8175.2734.8124.4184.0793.9273.3032.8442.4942.2191.998
1917.22615.67814.32313.13312.08511.1589.6038.3647.3656.5506.1985.8775.3164.8434.4414.0963.9423.3102.8472.4952.2201.999
2018.04516.35114.87713.59012.46211.4699.8188.5137.4696.6236.2595.9285.3524.8694.4604.1103.9533.3152.8502.4972.2201.999
2118.85617.01115.41514.02912.82111.76410.0168.6487.5626.6866.3125.9735.3834.8914.4754.1213.9633.3192.8512.4972.2211.999
2219.66017.65815.93614.45113.16312.04110.2008.7717.6446.7426.3586.0115.4094.9094.4884.1293.9703.3222.8532.4982.2211.999
2320.45518.29216.44314.85613.48812.30310.3718.8837.7186.7926.3986.0445.4324.9244.4984.1373.9763.3252.8542.4982.2211.999
2421.24318.91316.93515.24613.79812.55010.5288.9847.7846.8356.4336.0725.4504.9374.5074.1423.9813.3272.8552.4992.2211.999
2522.02319.52317.41315.62214.09312.78310.6749.0777.8436.8726.4646.0975.4664.9474.5134.1473.9843.3282.8552.4992.2221.999
2622.79520.12117.87615.98214.37513.00310.8099.1607.8956.9066.4906.1185.4804.9564.5194.1513.9873.3292.8552.4992.2221.999
2723.55920.70618.32716.32914.64313.21010.9359.2377.9426.9356.5136.1365.4914.9634.5244.1543.9903.3302.8562.4992.2221.999
2824.31621.28118.76416.66314.89813.40611.0519.3067.9846.9606.5336.1525.5014.9694.5284.1563.9923.3312.8562.4992.2221.999
2925.06521.84419.18816.98315.14113.59011.1589.3698.0216.9836.5506.1655.5094.9744.5314.1583.9933.3312.8562.4992.2221.999
3025.80722.39619.60017.29215.37213.76411.2579.4268.0557.0026.5656.1775.5164.9784.5334.1603.9953.3322.8562.4992.2221.999
4032.83427.35523.11419.79217.15915.04611.9249.7798.2437.1056.6416.2335.5484.9964.5434.1653.9993.3332.8572.4992.2221.999
5039.19631.42325.72921.48218.25515.76112.2339.9148.3047.1326.6606.2465.5544.9994.5454.1663.9993.3332.8572.4992.2221.999

參考文獻

  1. 1.0 1.1 陳增壽.第二章 財務管理的價值觀念 《財務管理學》[M].清華大學出版社,2005
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評論(共14條)

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203.86.40.* 在 2008年7月10日 16:41 發表

P值分母是不是應該為I呢? 感謝作者分享,本篇內容很豐富

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61.149.86.* 在 2009年4月30日 13:16 發表

都搞錯啦

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Zfj3000 (討論 | 貢獻) 在 2009年5月1日 09:33 發表

61.149.86.* 在 2009年4月30日 13:16 發表

都搞錯啦

謝謝指正,已對內容進行整理,MBA智庫是可以自由編輯的,您也可以直接參与

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Soon1987 (討論 | 貢獻) 在 2009年5月24日 22:36 發表

例子很豐富。 thx

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222.218.176.* 在 2009年7月6日 16:52 發表

來到這裡總算明白一點。 財務的東西真的很複雜啊!!

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Butterflyhit (討論 | 貢獻) 在 2009年8月19日 10:35 發表

想問下:企業需要貸款買一個500萬的設備(環保設備),貸款利率是7.74%(在中國人民銀行查得),設備年利潤為95萬元,要求企業投資回收期不超過5年,政府該給予多大比例的設備補貼企業才會投資? 是不是先求:A=500*[7.74%/(1-(1+7.74%)-5)]=124.4萬元 政府補貼:124.4*5-95*5=147萬元 政府補貼比例:147/500=0.294

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124.207.151.* 在 2010年1月6日 20:50 發表

非常感謝,講述的非常清楚,今天的之前,我對這個概念還是模糊的,雖然已經上過這門課

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123.145.28.* 在 2010年4月21日 13:33 發表

(P/A,10%,5)繫數應該是3.7908,不是3.7098.感謝作者,您的表述方式讓我明白什麼東西叫年金。

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131.170.90.* 在 2010年6月16日 09:19 發表

PV=PMT[1-(1+r)^-n/r]

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87.64.26.* 在 2010年12月3日 07:08 發表

請問:是年金現值理論因數大 還是複合值利率因數大? 比較這兩個值大小的目的在哪?

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58.221.202.* 在 2011年9月30日 14:49 發表

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221.213.244.* 在 2011年11月5日 09:13 發表

企業建造一棟辦公樓,為購建該辦公大樓購入工程物資20000元,增值稅為3400元,並投400元,並投入使用,建造過程中領用的生產用原材料實際成本為2000元,領用自產產品,實際成本為1800元,售價為2500元,安裝完畢達到達預定可使用狀態,本企業為一般納稅人,適用增稅率為17%,固定資產入帳價值為多少元?需要解題的詳細過程與答案,

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14.151.255.* 在 2013年11月21日 02:49 發表

【計算年金現值的舉例】的例二里年金終值繫數應該為3.79,不是3.709,因此p=4548.

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连晓雾 (討論 | 貢獻) 在 2013年11月21日 13:54 發表

14.151.255.* 在 2013年11月21日 02:49 發表

【計算年金現值的舉例】的例二里年金終值繫數應該為3.79,不是3.709,因此p=4548.

謝謝指正,內容已做更新~

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