帕累托分佈

出自 MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)

帕累托分佈（Pareto distributions）

什麼是帕累托分佈

　　帕累托分佈是以義大利經濟學家維弗雷多·帕雷托命名的。是從大量真實世界的現象中發現的冪次定律分佈。這個分佈在經濟學以外，也被稱為布拉德福分佈。

　　帕累托因對義大利20%的人口擁有80%的財產的觀察而著名，後來被約瑟夫·朱蘭和其他人概括為帕累托法則（80/20法則），後來進一步概括為帕累托分佈的概念。

帕累托分佈的概述

　　19世紀末期，義大利經濟學家維弗雷多·帕累托認為，貧與富的存在，既是經濟問題，也有政治原因。

　　帕累托在研究英國人的收入分配問題時發現，絕大部分社會財富最終總會流向少數人群；他還發現，某一部分人口占總人口的比例，與這一部分人所擁有的財富的份額具有比較確定的計量經濟關係；進一步的研究證實，這種不平衡模式可以重覆出現，甚至可以預測。經濟學把這一社會財富的分佈狀態，稱為“帕累托分佈”。

　　帕累托分佈可以歸納為一個非常簡潔的表述：通過市場交易，20%的人將占有80%的社會財富，如果交易可以不斷進行下去，那麼，“在因和果、努力和收穫之間，普遍存在著不平衡關係，典型的情況是：80%的收穫來自20%的努力；其他 80%的力氣只帶來20%的結果”。丹尼爾·貝爾在《帕累托分佈與收入最大化》中進一步敘述到：“如果待分配的財富總量是100萬元，人數為100人，那麼我們會有這樣一組對應的分配比例：排在前面的20個人，分得80萬元；同理，這20人中的4個人，分得64萬元；4個人中的1個人，分得50萬元。”

　　如果我們把這些數據用數學公式簡單處理一下，就會顯示一條收縮中的“財富曲線”以及一條發散中的“貧困曲線”。它的最終走向，是必然會“清零”的，也只有如此，“財富”中所包含的生產力因數才能重新釋放出來。

　　帕累托分佈從經濟學角度論證出，社會分配的“絕對的失衡”必然導致“絕對的貧困”，甚至導致“宗教末日審判”的來臨，除非我們可以通過政治手段，人為地阻止財富向高端不斷聚集，否則，貧富雙方的利益衝突是不可避免的。

[編輯]

帕累托分佈的函數

　　圖：帕累托分佈 (x_min=1)

　　在帕累托分佈中，如果X是一個隨機變數，則X的概率分佈如下麵的公式所示：

${\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k}$

　　其中x是任何一個大於x_min的數，x_min是X最小的可能值（正數），k是為正的參數。帕累托分佈曲線族是由兩個數量參數化的：x_min和k。分佈密度則為

$p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x < x_{\min}; \\ \\ {k \; x_{\min}^k \over x^{k+1}}, & \mbox{if }x > x_{\min}. \end{matrix} \right.$

　　帕累托分佈屬於連續概率分佈。

　　“吉普夫定律”, 也稱為“zeta 分佈”, 也可以被認為是在離散概率分佈中的帕累托分佈。一個遵守帕累托分佈的隨機變數的期望值為 $x_{\min} \; k \over k-1$ (如果 $k \leq 1$ , 期望值為無窮大) 且隨機變數的標準差為 ${x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2}$ (如果 $k \leq 2$ , 標準差不存在)。