TOPSIS法

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TOPSIS法(Technique for Order Preferenceby Similarity to Ideal Solution,)逼近理想解排序法、理想点法

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TOPSIS法概述

  TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution )法C.L.HwangK.Yoon于1981年首次提出,TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法,是在现有的对象中进行相对优劣的评价。理想化目标(Ideal Solution)有两个,一个是肯定的理想目标(positive ideal solution)或称最优目标,一个是否定的理想目标(negative ideal solution)或称最劣目标,评价最好的对象应该是与最优目标的距离最近,而与最劣目标最远,距离的计算可采用明考斯基距离,常用的欧几里德几何距离是明考斯基距离的特殊情况。

  TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理想解和反理想解表示) ,分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0~1 之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。该方法已经在土地利用规划、物料选择评估、项目投资、医疗卫生等众多领域得到成功的应用,明显提高了多目标决策分析的科学性、准确性和可操作性。

TOPSIS法的基本原理

  其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。

  TOPSIS法中“理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的两个基本概念。所谓理想解是一设想的最优的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值;而负理想解是一设想的最劣的解(方案),它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较,若其中有一个方案最接近理想解,而同时又远离负理想解,则该方案是备选方案中最好的方案。

TOPSIS法的数学模型[1]

  遇到多目标最优化问题时,通常有m 个评价目标D_1,D_2,\cdots,D_m, 每个目标有n 评价指标X_1,X_2,\cdots,X_n。首先邀请相关专家对评价指标(包括定性指标和定量指标) 进行打分,然后将打分结果表示成数学矩阵形式,建立下列特征矩阵:

  D=\begin{bmatrix}x_{11} & \cdots & x_{1j} & \cdots & x_{1jn} \\ \vdots &  & \vdots & & \vdots \\ x_{i1} & \cdots & x_{ij} & \cdots & x_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ x_{m1} & \cdots & x_{mj} & \cdots & x_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}D_1(x_1) \\ \vdots \\ D_i(x_j) \\ \vdots \\ D_m(x_n)\end{bmatrix}

  =\begin{bmatrix}X_1(x_1),\cdots,X_j(x_i),\cdots,X_n(x_m)\end{bmatrix}

  计算规范化矩阵

  对特征矩阵进行规范化处理,得到规格化向量rij ,建立关于规格化向量rij的规范化矩阵

  r_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^m x_{ij}^2}}

  i=1,2,\ldots,m,j=1,2,\ldots,n

  构造权重规范化矩阵

  通过计算权重规格化值vij,建立关于权重规范 化值vij 的权重规范化矩阵

  v_{ij}=w_jr_{ij},i=1,2,\cdots,m,j=1,2,\cdots,n

  其中,wj是第j 个指标的权重。在基于ASP的动态联盟制造资源评估模型中,采用的权重确定方法有Delphi法对数最小二乘法层次分析法等。

  确定理想解和反理想解

  根据权重规格化值vij来确定理想解A * 和反理想解A:

  A^{*}={(max_{i} v_{ij}|j\in J_1),(min_{i} v_{ij} | j\in J_2),| i=1,2,\cdots,m}={v_1^{*},v_2^{*},\cdots,v_j^{*},\cdots,v_n^{*}}

  A^{-}={(min_{i} v_{ij}|j\in J_1),(max_{i} v_{ij} | j\in J_2),| i=1,2,\cdots,m}={v_1^{-},v_2^{-},\cdots,v_j^{-},\cdots,v_n^{-}}

  其中,J1是收益性指标集, 表示在第i个指标上的最优值; J2是损耗性指标集, 表示在第i个指标上的最劣值。收益性指标越大,对评估结果越有利;损耗性指标越小,对评估结果越有利。反之,则对评估结果不利。

  计算距离尺度

  计算距离尺度,即计算每个目标到理想解和反理想解的距离,距离尺度可以通过n维欧几里得距离来计算。目标到理想解A * 的距离为S * ,到反理想解A的距离为S:

  S^{*}=\sqrt{\sum_{j=1}^n(V_{ij}-v_j^{*})^2}

  S^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^n(V_{ij}-v_j^{-})^2}

  i=1,2,\cdots,m

  其中,v_j^{*}v_j^{-}分别为第j个目标到最优目标及最劣目标的距离, vij是第i个目标第j个评价指标的权重规格化值。S * 为各评价目标与最优目标的接近程度, S * 值越小,评价目标距离理想目标越近,方案越优。

  计算理想解的贴近度C *

  C_i^{*}=\frac{S_i^{-}}{(S_i^{*}+S_i^{-})},i=1,2,\cdots,m

  式中,0\le C_i^{*}\le 1。当C_i^{*}=0时, Ai = A,表示该目标为最劣目标;当C_i^{*}=1时, Ai = A * , 表示该目标为最优目标。在实际的多目标决策中, 最优目标和最劣目标存在的可能性很小。

  根据理想解的贴近度C * 大小进行排序

  根据C * 的值按从小到大的顺序对各评价目标进行排列。排序结果贴近度C * 值越大,该目标越优,C * 值最大的为最优评标目标。

参考文献

  1. 李浩、罗国富、谢庆生.基于应用服务提供商的动态联盟制造资源评估模型研究
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评论(共5条)

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222.168.41.* 在 2010年5月21日 20:07 发表

错了!

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147.8.88.* 在 2012年3月6日 11:00 发表

不对,r是怎么计算也没写

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Hehelin (Talk | 贡献) 在 2012年3月6日 14:08 发表

147.8.88.* 在 2012年3月6日 11:00 发表

不对,r是怎么计算也没写

已添加r的计算公式,希望对您会有帮助!~

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218.22.13.* 在 2012年11月12日 21:37 发表

贴近度公式有误吧,S*和S-的位置反了。 S*值越小,评价目标距离理想目标越近,方案越优的,如果按目前这个公式,S*=0时C*=0,成了最差方案了。

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Hehelin (Talk | 贡献) 在 2012年11月13日 11:01 发表

218.22.13.* 在 2012年11月12日 21:37 发表

贴近度公式有误吧,S*和S-的位置反了。 S*值越小,评价目标距离理想目标越近,方案越优的,如果按目前这个公式,S*=0时C*=0,成了最差方案了。

原文附有参考文献,您可以做下对比,希望对您有帮助!

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