方差

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方差(Variance)

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什么是方差

　　方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。

　　方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。

　　标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。

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方差的计算公式

　　设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为：

　　\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})^2}{N}

　　对于分组数据，方差的计算公式为：

　　\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^K(X_i-\bar{X})^2 f_i}{\sum_{i=1}^K f_i}

　　方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：

　　未分组数据：\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(X_i-\bar{X})^2}{N}}

　　分组数据：\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^K(X_i-\bar{X})^2 f_i}{\sum_{i=1}^K f_i}}

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样本方差和标准差

　　样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1称为自由度。设样本方差为S_{n-1}^2，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为：

　　未分组数据：S_{n-1}^2=\frac{\sum_{i=1^n(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}

　　分组数据：S_{n-1}^2=\frac{\sum_{i=1^k(x_i-\bar{x})^2 f_i}}{\sum_{i=1}^k f_i-1}

　　未分组数据：S_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1^n(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}}

　　分组数据：S_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1^k(x_i-\bar{x})^2 f_i}}{\sum_{i=1}^k f_i-1}}

　　例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下：

3.433.453.433.483.523.503.39
3.483.413.383.493.453.513.50

　　根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？

　　解：根据已知数据，计算\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=3.459

　　S^2=\frac{\sum(x-\bar{x})^2}{n-1}=0.002<0.005

　　因此，该机器工作正常。

　　方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。

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评论(共19条)

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59.108.122.* 在 2009年1月13日 10:54 发表

很好~谢谢~

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119.122.126.* 在 2009年2月14日 10:17 发表

谢谢了

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121.33.190.* 在 2009年3月7日 12:14 发表

谢谢啦 很好！

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119.98.92.* 在 2009年6月19日 20:28 发表

一个房间的风速与温度，测量一组数据，那这是属于样本方差还是总体方差

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219.234.81.* 在 2009年7月11日 14:45 发表

119.98.92.* 在 2009年6月19日 20:28 发表

一个房间的风速与温度，测量一组数据，那这是属于样本方差还是总体方差

显然是样本方差

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210.46.116.* 在 2009年9月14日 16:23 发表

上面的各分组数据公式中Xi 要用分组数据中相对应组的组中值来计算 O(∩_∩)O~

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210.46.116.* 在 2009年9月14日 16:27 发表

119.98.92.* 在 2009年6月19日 20:28 发表

一个房间的风速与温度，测量一组数据，那这是属于样本方差还是总体方差

“一个”说明是整体 而且一个房间里面的空间的风速与温度都可能是不一样的 故寡人认为测的是总体方差 是相对于这一个房间“总体"而言的

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221.7.131.* 在 2009年12月14日 10:13 发表

偶完全看不懂，是个什么东东

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125.109.93.* 在 2010年4月17日 13:37 发表

分组数据公式里面的f代表什么？

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125.119.238.* 在 2010年4月22日 13:15 发表

很赞同 f代表什么

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219.141.243.* 在 2010年5月10日 13:49 发表

为什么要N-1,搞不懂?还有为什么要乘fi ???

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Flashsoldier (Talk | 贡献) 在 2010年6月22日 08:55 发表

这些都是统计学中的基本概念啊，一般来说，商科学生大一的时候就学过了。

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75.28.52.* 在 2010年9月20日 07:54 发表

有的说是除以N，有的又说是N-1。为什么？

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孤雪飘摇 (Talk | 贡献) 在 2010年10月14日 15:14 发表

谢谢~~

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124.42.78.* 在 2011年1月9日 18:43 发表

谢谢~~

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129.127.252.* 在 2011年1月29日 16:36 发表

75.28.52.* 在 2010年9月20日 07:54 发表

有的说是除以N，有的又说是N-1。为什么？

除以N是应用于全部的数据，而除以N-1是应用于样本。

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113.78.255.* 在 2011年4月16日 13:25 发表

为什么总体方差与样本方差的自由度要相差1，假如把样本看作是一个总体的话，那么自由度岂不是要变会n？好像有点矛盾~~~

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180.172.65.* 在 2012年1月3日 16:44 发表

113.78.255.* 在 2011年4月16日 13:25 发表

为什么总体方差与样本方差的自由度要相差1，假如把样本看作是一个总体的话，那么自由度岂不是要变会n？好像有点矛盾~~~

样本均值X=(X1+X2+....+Xn)/n 样本方差Sx=((X1-X)平方+（X2-X)平方+.....+(Xn-X)平方)/n 以上两个不等式可以消去Xn，所以未知数只有N-1个，所以除以n-1.

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155.69.169.* 在 2012年1月11日 19:45 发表

要明白是总体方差还是样本方差，要看研究对象，样本是总体的一部分，总体是样本的集合。 以房间的风速与温度为研究对象，这时还要给定一个条件-时间，于是有两种情况1 研究某个点时间的风速和温度，这个点时间的风速和温度的样本只有一个，这个样本就是总体。2 如果研究的是房子在一段时间内的风速和温度时，这段时间内的风速和温度就有无数个样本值，所测到的有限个样本的集合就是总体的一部分，此时得到的方差为样本方差。

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