影子成本

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影子成本(Shadow cost)

影子成本概述^[1]

　　考虑资源利用问题的线性规划数学模型:

　　 $m a x Z = C X$

　　 $(LP1)\ \ \ \ \ \ \ s.t\begin{cases}AX \le b \\ X \ge 0 \end{cases}$

　　其中 $C=(c_1,c_2,\cdots,c_n)$ 是效益系数向量, $A=(a_{ij})m\times n$ 是产品对资源的消耗系数矩阵, $b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$ 是资源限量向量, $X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 是决策变量向量。根据问题的实际意义,A,C,b中的元素均为非负元素。

　　设(LP1)的最优基为B,对应的最优解为 $X B = B - 1 b, X N = 0,$ 最优值 $m a x Z = C B B - 1 b$ 。其对偶线性规划问题是:

　　 $m i n W = Y b$

　　 $(DLP1)\ \ \ \ \ \ \ s.t\begin{cases}YA \ge c \\ Y \ge 0 \end{cases}$

　　其中 $Y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)$ 。

　　如果某经济系统利用n种原料生产符合m项质量指标(效用)要求的产品,m项质量指标(效用)的标准向量 $b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$ ,n种原料的单位成本为向量 $C=(c_1,c_2,\cdots,c_n)$ ,n种原料对m项质量指标含有量的系数矩阵为

　　 $A=(a_{ij})_{m\times n}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$

　　那么,选取n种原料的数量 $X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 生产该产品,在达到质量指标要求的前提下,使S总成本达到最小。可以建立线性规划数学模型:

　　 $m i n S = C X$

　　 $(LP2)\ \ \ \ \ \ \ s.t\begin{cases}AX \ge b \\ X \ge 0 \end{cases}$

　　其对偶线性规划问题为:

　　 $m a x G = Y b$

　　 $(DLP2)\ \ \ \ \ \ \ s.t\begin{cases}YA \le C \\ Y \ge 0 \end{cases}$

　　其中 $Y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)$ 。与影子价格的理论推导和经济意义类似^[2],这里对偶线性规划问题(DLP2)的最优解可以解释为线性规划问题(LP2)中各种质量指标(效用)的边际成本(marginal costs)或者称为影子成本(shadow costs)。即在其他条件均不改变的情况下,改变第i种指标引起的总成本的改变量 $\triangle G$ 与第i种质量指标的改变量 $\triangle b_i$ 的比值

　　 $y_i=\frac{\triangle G}{\triangle b_i} (i=1,2,\cdots,m)$

　　影子成本的另一层含义是:如果降低某项质量指标(效用)的要求,产品的收益可能减少,影子成本就是经营者能够接受的降低单位该项质量指标(效用)所减少的最大收益。

　　例如,在一块土地上种植某种农作物,根据农作物生长和增产的需要,在其生长过程中每亩至少需要氮32千克、磷24千克、钾42千克。现有四种复合肥料甲、乙、丙、丁,其每千克的购买价格及氮、磷、钾含量(%)见表1。问该块土地上每亩施这四种肥料各多少千克,才能既满足农作物对氮磷钾的需要,又使得施肥的总成本最低?

　　设每亩施肥甲、乙、丙、丁分别为 $x 1, x 2, x 3, x 4$ 千克,则可建立线性规划数学模型:

　　 $m i n S = 0.28 x 1 + 1.05 x 2 + 0.7 x 3 + 0.91 x 4$

　　通过LINDO6.1(最优化求解软件)对模型1进行求解,得: $x 1 = 480, x 2 = 58.67, x 3 = 0, x 4 = 0, m i n Z = 196$

　　即:每亩施肥料甲480千克,乙58.67千克,不施丙和丁,在满足作物对氮磷钾的需求的前提下,使得成本最小,最小成本为196元/亩。

　　如果从另一个角度思考问题,不购买复合肥而是购买单成分氮、磷、钾的肥料,那么氮、磷、钾的价格应如何确定呢?或者说购买单成分氮、磷、钾的肥料愿意付出的价格是多少呢?

　　设每千克单成分氮、磷、钾肥料的价格分别为 $y 1, y 2, y 3$ 元,则可以建立线性规划模型:

　　 $m a x G = 32 y 1 + 24 y 2 + 42 y 3$

　　模型(DLP3)是(LP3)的对偶线性规划问题。通过LINDO6.1对(DLP3)进行求解,得:

　　 $y 1 = 3.5, y 2 = 3.5, y 3 = 0, m a x G = 196$ 元

　　根据LINDO6.1对模型1的求解报告,氮磷钾三种要素的对偶价格(dual price)分别为-3.5元,-3.5元和0。其实,对偶价格就是(LP3)的对偶线性规划问题(DLP3)的最优解 $y 1, y 2, y 3$ 的相反数。这里的对偶价格可以理解为在其他条件不变的情况下,氮、磷、钾每减少1单位(1千克),可以使总成本降低的数量,所以对偶价格是不大于零的。也就是说,在其他条件不变的条件下如果每亩地对氮肥的需要量减少1千克,可使得施肥成本降低3.5元;如果每亩地对磷肥的需要量减少1千克,也可使得施肥成本降低3.5元;如果每亩地对钾肥的需要量减少1千克,施肥成本不能降低,因为在最优施肥方案中钾肥含量67.2千克远远超过了需要量42千克。这里的对偶价格的相反数3.5、3.5、0分别是氮、磷、钾边际成本(Marginal costs)或者称为影子成本(shadow costs)^[3]。如果线性规划问题(LP3)是成本最小化的线性规划问题,则其对偶线性规划问题(DLP3)的最优解 $y 1 = 3.5, y - 2 = 3.5, y 3 = 0$ 就是各种质量指标的边际成本。

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影子成本的动态描述^[1]

　　根据影子成本的含义,在其他条件不变的情况下,随着该种质量指标(效用)的提高其边际成本具有增加的趋势。以作物施肥的最小成本为例,在其他条件不变的情况下,随着每亩氮肥需求量b1的增加,氮肥的边际成本 $y 1$ 是 $b 1$ 的单调不减的阶梯函数。在(LP3)中,利用LINDO6.1通过对氮肥的需求量 $b 1$ 进行敏度分析,可以得到氮肥的边际成本 $y 1$ 随着 $b 1$ 的变化而变化的函数表达式:

　　 $y_1=\begin{cases}0 \ \ \ \ \ 0<b_1 \le 9 \\ 3.5 \ \ \ \ 9<b_1< +\infty \end{cases}$

　　在(LP3)中,利用LINDO6.1通过对磷肥的需求量b2进行灵敏度分析,可以得到磷肥的边际成本 $y 2$ 随着 $b 2$ 的变化而变化的函数表达式:

　　 $y_1=\begin{cases}0 \ \ \ \ \ 0<b_2 \le 15 \\ 3.5 \ \ \ \ 15<b_2< +\infty \end{cases}$

　　在(LP3)中,利用LINDO6.1通过对钾肥的需求量 $b 3$ 进行灵敏度分析,可以得到钾肥的边际成本 $y 3$ 随着 $b 3$ 的变化而变化的函数表达式:

　　 $y_3=\begin{cases}0 \ \ \ \ \ 0<b_3 \le 67.2 \\ 1.25\ \ \ \ 67.2<b_3 \le 149\frac{1}{3} \\ 2 \ \ \ \ \ 149\frac{1}{3}<b_3<+\infty \end{cases}$

　　氮、磷、钾边际成本是氮、磷、钾需求量的分段函数,这些分段函数都是单调不减的阶梯形函数,并且是左连续的。说明随着氮、磷、钾的需求量增加,其边际成本越来越大,因此我们应该在考虑边际成本的条件下增加或者减少每亩土地氮、磷、钾的需求,使得施肥效益与施肥成本达到最大的“性价比”。

　　对于使成本最小的产品生产的最优化问题,建立线性规划问题的数学模型,使得在满足各种质量指标要求的前提下成本最小。其各种指标的影子成本就是该种质量指标的边际成本,随着质量指标的提高,其边际成本不断增加;当然,适当降低某项质量指标可能使边际成本减少。

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影子价格与影子成本的惟一性讨论^[1]

　　在对偶变量的经济意义的研究中,大部分都是研究资源利用最大化问题的对偶线性规划问题,解释为资源的影子价格。有的将收益(或者利润)最大化问题与成本最小化问题的对偶规划问题的最优解混为一谈,都称为影子价格。笔者认为,应该根据所研究问题的不同而区别对待。

　　当我们通过对线性规划问题进行灵敏度分析研究影子价格或影子成本时,满足最优基条件的区间是闭区间,表面上看对应 $b i$ 的某一个取值, $y i$ 有两个不同的值,影子价格不惟一。例如,在(LP3)中,通过求解可以得到:当 $0\le b_1<9,y_1=0$ ;当 $9\le b_1<+\infty,y_1=3.5$ 。表面上看来,在其他条件不变的条件下,对应 $b 1 = 9$ ,有两个影子成本 $y 1 = 0$ 和 $y 1 = 3.5$ ,但根据影子成本的经济意义, $b 1 = 9$ 时讨论减少 $b 1$ 引起总成本Z的降低, $b 1$ 的范围是: $0\le b_1<9$ 。这种情况下只能认为 $b 1 = 9$ 在的影子成本是0而不是3.5。

　　文献^[4]^[5]中都讨论了影子价格不惟一的问题。即认为如果线性规划问题(LP1)或(LP2)的最优基不惟一时,对偶线性规划问题(DLP1)或(DLP2)的最优解也不惟一,那么影子价格或影子成本也不惟一,这给管理决策带来了困难^[4]^[5]。文献^[6]认为影子价格应该具有惟一性,并且进行了重新定义^[7]。笔者认为,影子价格或影子成本是惟一的,之所以会认为不惟一是由于没有真正理解影子价格或影子成本的经济含义。

　　资源利用问题的影子价格应该理解为:在某一范围内,某种资源增加一个单位,可以使得总收益(总利润)增加的数量。因此,在讨论在 $b i$ 某个区间的取值的影子价格时, $b i$ 的变化范围应该包含这个区间的左端点而不应该包含这个区间的右端点。因为在右端点增加 $b i$ 的值将超出这个范围。因此,在其他条件不变的情况下,影子价格 $y i$ 是资源限量b_i的单调不增的阶梯形函数, $y_i=y_i(b_i)(i=1,2,\cdots,m)$ 并且这个函数是右连续的。

　　质量指标(效用)问题的影子成本应该理解为:在某一范围内,某种质量指标(效用)降低一个单位可以使得总成本减少的数量。因此,在讨论 $b i$ 某个区间的取值的影子成本时,bi的变化范围应该包含这个区间的右端点而不应该包含这个区间的左端点。因为在左端点减少 $b i$ 的值将超出这个范围。因此,在其他条件不变的情况下,影子成本yi是质量指标bi的单调不减的阶梯形函数 $y_i=y_i(b_i)(i=1,2,\cdots,m)$ ,并个函数是左连续的。

　　文献^[4]中之所以误认为甲乙丙三种资源的影子价格 $y 1, y 2, y 3$ 不惟一,是因 $b 1 = 12, b 2 = 8, b 3 = 16$ 的取值都是在影子价格发生变化的区间的端点。根据上述讨论,影子价格是惟一的。文献[3]中四种资源的影子价格的表达式分别为:

　　 $y_1=\begin{cases}\frac{3}{2} \ \ \ \ 0<b_1 \le 6 \\ 1 \ \ \ \ 6 \le b_1< 10 \\ frac{1}{2} \ \ \ \ 10 \le b_1<12 \\ 0 \ \ \ \ b_1\ge 12\end{cases}$

　　 $y_2=\begin{cases}2 \ \ \ \ 0\le b_2 < 4 \\ \frac{3}{2} \ \ \ \ 4 \le b_2< 8 \\1 \ \ \ \ 8\le b_2 <9 \\ 0 \ \ \ \ b_1\ge 9\end{cases}$

　　 $y_3=\begin{cases}\frac{1}{2} \ \ \ \ 0\le b_3 <8 \\ \frac{1}{8} \ \ \ \ 8 \le b_3< 16 \\0 \ \ \ \ b_3\ge 16 \end{cases}$

　　 $y_4=\begin{cases}\frac{3}{4} \ \ \ \ 0\le b_4 <8 \\ 0 \ \ \ \ b_4\ge 8 \end{cases}$

　　同样,文献^[5]中资源限量也都是影子价格发生变化的区间的端点,造成影子价格不惟一的误解。文献^[5]中两种资源的影子价格的表达式分别为:

　　 $y_1=\begin{cases}2 \ \ \ \ 0\le b_1 < 4 \\ \frac{1}{3} \ \ \ \ 4 \le b_1< 5 \\ 0 \ \ \ \ b_1\ge 5 \end{cases}$

　　 $y_2=\begin{cases}\frac{5}{6} \ \ \ \ 0\le b_2 < 8 \\ \frac{2}{3} \ \ \ \ 8 \le b_1< 10 \\ 0 \ \ \ \ b_2\ge 10 \end{cases}$

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影子成本在经济管理中的应用^[1]

　　为了提高产品的某些质量指标,必需要增加成本,这时要将质量指标增加带来的效益———边际效益与边际成本进行比较。如果边际效益小于边际成本,则这种单纯地提高质量指标不能增加利润,是不可取的;如果边际效益大于边际成本,则通过这种指标的提高可以增加利润。因此,在经济管理中,可以根据产品的某项质量指标的边际效益与其边际成本进行比较,当边际效益大于边际成本时,可以考虑适当提高该项质量指标直至边际效益等于边际成本;当边际效益小于边际成本时,可以考虑适当降低该项质量指标直至边际效益等于边际成本。因此,使成本最小的产品生产的最优化问题最终使得各种质量指标的边际效益恰好等于边际成本,这样就能实现资源的最优配置。

　　当然,也可以将边际成本作为同类企业的经济效益评价指标。在同样的条件下边际成本小的企业,说明它的管理水平先进,适应市场的能力强,在资源配置中处于优先地位;边际成本大的企业,说明它的管理水平比较落后,适应市场的能力弱,在资源配置中处于劣势地位。

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参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 杨桂元.影子价格与影子成本
↑ 杨桂元、唐小我.影子价格及其在资源配置中的应用[J].电子科技大学学报,2000,29(5):540-544.
↑ 张惠恩.管理线性规划[M].大连:东北财经大学出版社,2001.18-31.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 林涛、刘家诚.关于影子价格不惟一的探讨[J].广西会计,1999,6:8-10.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 刘舒燕.关于资源影子价格不惟一问题的讨论[J].运筹与管理,2001,10(2):33-36.
↑ 夏少刚、申树斌、潘权.关于影子价格问题的讨论[J].运筹与管理,2002,11(1):23-27.
↑ 夏少刚、申树斌、潘权.关于影子价格问题的讨论[J].运筹与管理,2002,11(1):23-27.

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马宏立 (Talk | 贡献) 在 2011年10月17日 16:00 发表

好\(^o^)/~！！！就是太高深了点------

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影子价格与影子成本的惟一性讨论^[1]

影子成本在经济管理中的应用^[1]

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