套利定价理论

出自 MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)

套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory，简称APT)

1 套利定价理论概述
2 套利定价理论与资本资产定价模型的异同点
3 套利定价理论的意义
4 套利定价理论的基本机制
5 套利定价理论的模型[2]
- 5.1 一、因素模型（factor models）
- 5.2 二、无套利均衡（no arbitrage equilibrium）
6 套利定价理论假设[2]
7 APT和CAPM[2]
8 套利定价理论的应用分析
9 分析一：套利定价理论在证券中的应用[3]
10 参考文献

套利定价理论概述

　　套利定价理论APT(Arbitrage Pricing Theory) 是CAPM的拓广,由APT给出的定价模型与CAPM一样,都是均衡状态下的模型,不同的是APT的基础是因素模型。

套利定价理论认为，套利行为是现代有效率市场（即市场均衡价格）形成的一个决定因素。如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险套利机会. 并且用多个因素来解释风险资产收益，并根据无套利原则，得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在(近似的)线性关系. 而前面的CAPM模型预测所有证券的收益率都与唯一的公共因子(市场证券组合)的收益率存在着线性关系。

[编辑]

套利定价理论与资本资产定价模型的异同点

　　1976年，美国学者斯蒂芬·罗斯在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的资产定价模型，此即套利定价理论(APT理论)。套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。

　　与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：

　　1.投资者有相同的投资理念；

　　2.投资者是回避风险的，并且要效用最大化；

　　3.市场是完全的。

　　与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论没有以下假设：^[1]

　　1.单一投资期；

　　2.不存在税收；

　　3.投资者能以无风险利率自由借贷；

　　4.投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。

[编辑]

套利定价理论的意义

　　套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。因此，套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。套利定价理论与现代资产组合理论、资本资产定价模型、期权定价模型等一起构成了现代金融学的理论基础。

[编辑]

套利定价理论的基本机制

　　套利定价理论的基本机制是：在给定资产收益率计算公式的条件下，根据套利原理推导出资产的价格和均衡关系式。ＡＰＴ作为描述资本资产价格形成机制的一种新方法，其基础是价格规律：在均衡市场上，两种性质相同的商品不能以不同的价格出售。套利定价理论是一种均衡模型，用来研究证券价格是如何决定的。它假设证券的收益是由一系列产业方面和市场方面的因素确定的。当两种证券的收益受到某种或某些因素的影响时，两种证券收益之间就存在相关性。

[编辑]

套利定价理论的模型^[2]

[编辑]

一、因素模型（factor models）

　　套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。

　　因素模型是一种统计模型。套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。这在套利定价理论的假设条件和套利定价理论中都清楚的体现出来。

　　线性多因素模型的一般表达为:

　　 $r_i=a_i+\sum^k_{j=1}b_{ij}F_j+\epsilon_i,i=1,2,\cdots,N$ 　　(1)

　　或

　　 $r = a + B * F + ε$ 　　(2)

　　其中:

　　 $r=(r_1,\cdots,r_N)^T$ 代表N种资产收益率组成的列向量.

　　 $F=(F_1,\cdots,F_K)^T$ 代表K种因素组成的列向量

　　 $a=(a_1,\cdots,a_N)^T$ 是常数组成列向量

　　 $B=(b_{ij})_{N\times K}$ 是因素j对风险资产收益率的影响程度,称为灵敏度(sensitivity)/因素负荷(factor loading). 组成灵敏度矩阵.

　　 $\epsilon=(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_N)^T$ 是随机误差列组成的列向量.

　　并要求:

　　 $E(\epsilon_i)=0,1\le i\le N$ 　　(3)

　　定义：对于一个有N个资产,K种因素的市场,如果存在一个证券组合 $w_p=(w_{pl},\cdots,w_{pN})^T$ ,使得该证券组合对某个因素有着单位灵敏度,而对其他因素有着零灵敏度. 那么该证券组合被称为纯因素证券组合.

　　该组合对于的总收益率:

　　 $r_p=w_p^Tr=w^T_pa+w^T_pB*F+w^T_p\epsilon$ 　　(4)

　　构造纯因素证券组合时,不妨设第一个因素为纯因素,于是构造转换成解线性方程:

　　 $B^Tw_p=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},l^Tw_p=1$ 　　(5)

　　进而:

　　 $E(\mathbf{r}_p)=\mathbf{w}_p^T\mathbf{a}+E(F_1)\equiv r_f+\lambda$ (6)

　　其中: $r f$ 是无风险收益率, $λ$ 每单位灵敏度的某因素的预期收益溢价.

　　由式(5)可见纯因素证券组合不只一种，那么这些不同的证券组合，是否会产生同样的期望收益呢？答案是肯定的，这就涉及到无套利均衡。

[编辑]

二、无套利均衡（no arbitrage equilibrium）

　　套利和无套利是现代金融的最基本的概念之一.

　　定义: 套利机会(Arbitrage Opportunity)

　　存在一个交易策略 $W_A=(w_{Ai},\cdots,w_{AN})^T$ ,满足以下4个条件:

　　1)不需要任何投入,自我融资(self-financing)

　　 $l T w A = 0$ 　　(7)

　　2)对所有因素风险完全免疫

　　 $B T w A = 0$ 　　(8)

　　3)对所有非因素风险完全免疫

　　 $W^T_A\epsilon=0$ 　　(9)

　　4)当资产数目足够多时,期末可以获得无风险收益

　　 $r_A=w^T_ar=w^T_Aa+w^T_AB*F+w^T_A\epsilon=w^T_Aa$

　　 $\lim_{n\to \infty}E(r_A)>0$ 　　(10)

　　无套利原理:在市场均衡时刻，不存在任何套利机会.

　　无套利原理已经成为了现代金融学的基本假设,今后的微观金融学笔记将会反复讨论这个概念.

[编辑]

套利定价理论假设^[2]

　　假设一:无摩擦的市场.

　　假设二:无操纵市场.

　　假设三: 无制度限制.

　　这些关于理想化资本市场的三个假定与资本资产定价模型中的要求是一致的.

　　假设四: 资产收益由因素模型决定.

　　假设五: 同质预期

　　假设六: 市场上存在无风险资产

　　假设七: 满足无套利原理

　　定理:(套利定价)假定风险资产收益满足上面的因素模型,并且不存在套利机会.则存在使得下式成立:

　　 $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}v^2_i=\equiv \lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\left \| V\right\|^2$ 　　(11)

　　 $v_i=a_i-\lambda_0-\sum^{K}_{k=1}\lambda_xb_{ix}$ 　　(12)

　　这里就不给具体证明,后面的笔记中将会提及更一般的资本资产定价理论.

　　证明思路:

　　试图构造一个套利组合 $w_A=(w_{Ai},\cdots,w_{AN})^T$ .该组合自然首先要满足:

　　式(7),式(8),式(9)

　　再考虑式(10)对应的逆命题对应(就是无套利原理):

　　 $\lim_{N\to \infty}E(r_A)=0$

　　即

　　 $\lim_{N\to \infty}(w_A^Ta)=0$ 　　(13)

　　如果式(7),式(8),式(13)同时成立,表明当 $N\to \infty$ 时:

　　l(列向量),B(K个列向量),a(列向量)都和 $w A$ 正交.

　　根据线性代数里的结论我们知道:

　　a可以表示为[1　B]这(K+1)个列向量的线性组合.

　　即,当 $N\to \infty$ 时,存在 $\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_K$ :

　　 $a_i=\lambda_0+\sum^{K}_{k=1}\lambda_xb_{ix}$ 　　(14)

[编辑]

APT和CAPM^[2]

　　1．套利定价模型（APT）跟资本资产定价模型（CAPM）一样，是证券价格的均衡模型。

　　2. APT比CAPM需要更少的限制性的假设。

　　3. APT与CAPM的作用十分相似。它可以作为公平收益率，因此可用于资本预算、证券估价或投资业绩评估。并且，套利定价理论还可以说明两种风险之间更严格的区别：不可分散风险（系统风险）要求风险溢价形式的回报，而可分散风险则没有这样的回报要求。

[编辑]

套利定价理论的应用分析

[编辑]

分析一：套利定价理论在证券中的应用^[3]

　　假设有三种证券,它们都服从单因素模型,因素是F。它们的期望收益率 $\bar{r_i}$ 和关于因素F 的敏感度 $b i$ 都列在表中:投资者总资产是1500 万元,三种证券的组合p

　　 $p=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

　　即每一种证券都投资500 万元。这一组合未必是一个最优的组合。

证券i	$\bar{r_i}$	$b i$
1	15 %	0.9
2	21 %	3.0
3	12 %	1.8

　　现在,投资者对上述组合p 作改变,记 $Δ x i$ 是投资于证券 $s i$ 的比例的改变量,亦即改变后的组合是:

　　 $P'=\left(\frac{1}{3}+\Delta x_1,\frac{1}{3}+\Delta x_2,\frac{1}{3}+\Delta x_3\right)$

　　并且 $Δ x 1$ , $Δ x 2$ , $Δ x 3$ 必须满足下列要求,亦即满足下列套利原理:

　　(1) $Δ x 1 + Δ x 2 + Δ x 3 = 0$ ,这表示投资者总投资额不变,既没有增加投资的总资金,也没有从原有投资总额中抽回部分资金。

　　(2) $b 1 Δ x 1 + b 2 Δ x 2 + b 3 Δ x 3 = 0$ ,这表示改变后的组合P′的因素风险不变,它与组合p 的因素风险相同。

　　(3) $\Delta x_1 *\bar{r1} + \Delta x_2 *\bar{r2} + \Delta x_3 *\bar{r3}>0$ ,这表示由于这一改变会增加期望收益率,或者说改变后的组合p′的期望收益率 $\bar{r_{p'}}$ 高于原来的期望收益率 $\bar{r_p}$ ,我们称上述组合 $(Δ x 1,Δ x 2,Δ x 3)$ 是套利组合,投资者能够利用这一组合进行套利。

　　由上面的(1) 和(2) ,需要解一个齐次方程组:

　　 $\begin{cases} \Delta x_1+\Delta x_2+\Delta x_3=0\\ 0.9\Delta x_1+3\Delta_{x2}+1.8\Delta x_3=0\end{cases}$

　　将左端含有 $Δ x 1$ 的项移到右端：

　　 $\begin{cases} \Delta x_2+\Delta x_3=-\Delta x_1 \\ 3\Delta x_2+1.8\Delta_{x3}=-0.9\Delta x_1 \end{cases}$

　　将 $Δ x 1$ 看作参数,解上述非齐次方程组得:

　　 $\Delta x_2=\frac{3}{4}\Delta x_1$

　　 $\Delta x_3=-\frac{7}{4}\Delta x_1$

　　由此我们便得到下面的结论:若取 $Δ x 1 > 0$ ,那么 $Δ x 2 > 0$ , $Δ x 3 < 0$ ,这表明必须减少对证券3 的投资,增加对证券1 和证券2 的投资。再由(3) , $Δ x 1,Δ x 2,Δ x 3$ 还须满足:

　　 $15\Delta x_1 + 21\Delta x_2 + 12\Delta x_3 = \left( 15+\frac{63}{4}-\frac{84}{4}\right)\Delta x_1$

　　 $= 9.75Δ x 1 > 0$

　　很显然 $Δ x 1$ 必须大于0 ,这表示改变后的组合可多获得的期望收益率为 $9.75%Δ x 1$ ,在不允许卖空证券的情形下,减少证券3 的投资,至多减少投资于证券3 的比例是0 ,这样我们又得到一个不等式:

　　 $\frac{1}{3}+\Delta x_3=\frac{1}{3}-\frac{7}{4}\Delta x_1\ge 0$

　　即：

　　 $\Delta x_1\le\frac{4}{21}$

　　综上所述, $\Delta x_1 =\frac{4}{21}$

　　时增加的期望收益率最大,这时套利组合 $(\Delta x_1,\Delta x_2,\Delta x_3)=(\frac{4}{21},\frac{3}{21},-\frac{7}{21})$ ,

　　增加的期望收益率是:

　　 $9.75Δ x 1 % = 1.86%$

　　此结果表示,投资者如果改变原来的组合 $p = (\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ ,

　　改变的量是套利组合( $\frac{4}{21},\frac{3}{21},-\frac{7}{21}$ ),

　　改变后的组合是 $p'=(\frac{1}{3}+\frac{4}{21},\frac{1}{3}+\frac{3}{21},0)$ ,亦即改变后投资于证券1 和证券2的资金分别是:

　　 $1500\times(\frac{1}{3}+\frac{4}{21})\approx 785.71$ (万元)

　　 $1500\times(\frac{1}{3}+\frac{3}{21})\approx 714.29$ (万元)

　　投资于证券3 的资金为0 ,这样做的结果比原先的组合p 增加期望收益率1.86 % ,而因素风险不变,投资者套利成功。

　　在一个均衡的市场中套利现象不会发生,套利组合成为(0 ,0 ,0) ,或者套利一旦发生将会迅速消失,最后各个证券将在市场中找到自己的合适位置,在市场调节下,它的期望收益率既不会过高也不会过低,满足一个均衡状态下的方程式:

　　 $\bar{r_i}=r_f+b_i\lambda$

　　式中, $r f$ 是无风险利率, $λ$ 是因素F 的单位风险溢酬。该方程即是APT定价模型。

[编辑]

参考文献

↑ 刘建民.《财务管理》[M].郑州大学出版社.ISBN:9787811068764.2008年07
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 套利定价理论.《微观金融学》
↑ 牛庆莲,张霞,杨月巧.套利定价理论及应用.山西财经大学学报 2002/S1

来自"http://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%A5%97%E5%88%A9%E5%AE%9A%E4%BB%B7%E7%90%86%E8%AE%BA"

如果您认为本条目还有待完善，需要补充新内容或修改错误内容，请编辑条目。

本条目由以下用户参与贡献

蔓草寒烟,苦行者,Angle Roh,山林,Vulture,Zfj3000,Dan,Cabbage,Yixi,吴沛良,风行水使,Gliang0888,jonathan.

页面分类: 金融理论 | 财务管理理论

评论(共14条)

提示:评论内容为网友针对条目"套利定价理论"展开的讨论，与本站观点立场无关。

3zang (Talk | 贡献) 在 2009年9月15日 17:41 发表

要是能更详细些就更好了~~哪位高手可以再添加些~~

回复评论

119.33.40.* 在 2009年9月16日 23:22 发表

我也这样认为

回复评论

218.17.228.* 在 2009年10月29日 14:13 发表

是啊，连个公示和图形都没有

回复评论

Hnoju (Talk | 贡献) 在 2009年12月17日 15:15 发表

补充了点内容哦

回复评论

NjuWgl (Talk | 贡献) 在 2010年7月26日 16:49 发表

公式里些许错误

已经修正

回复评论

Dan (Talk | 贡献) 在 2010年7月26日 17:59 发表

NjuWgl (Talk | 贡献) 在 2010年7月26日 16:49 发表

公式里些许错误

已经修正

感谢NjuWgl的贡献~

回复评论

Gliang0888 (Talk | 贡献) 在 2010年10月24日 19:41 发表

最后例子里的套利组合改变量也有一个数字打错了，我改

回复评论

Vulture (Talk | 贡献) 在 2010年10月25日 01:53 发表

Gliang0888 (Talk | 贡献) 在 2010年10月24日 19:41 发表

最后例子里的套利组合改变量也有一个数字打错了，我改

谢谢Gliang0888的修正。

回复评论

221.199.14.* 在 2011年1月10日 15:36 发表

有错的。。　与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：

　　1.投资者有相同的投资理念；

　　2.投资者是回避风险的，并且要效用最大化；

　　3.市场是完全的。

　　与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论还包括以下假设：

　　1.单一投资期；

　　2.不存在税收；

　　3.投资者能以无风险利率自由借贷；

　　4.投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。那个注意：　　与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论还包括以下假设：应该是套利定价理论不包括以下假设

回复评论

Dan (Talk | 贡献) 在 2011年1月10日 16:04 发表

221.199.14.* 在 2011年1月10日 15:36 发表

有错的。。　与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：

　　1.投资者有相同的投资理念；

　　2.投资者是回避风险的，并且要效用最大化；

　　3.市场是完全的。

　　与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论还包括以下假设：

　　1.单一投资期；

　　2.不存在税收；

　　3.投资者能以无风险利率自由借贷；

谢谢指正，错误之处已作修改。

MBA智库百科是可以自由参与的百科，如有发现错误和不足，您也可以参与修改编辑，只要通过网页右上角的创建新帐号，创建用户名后即可参与，期待您的加入！~

回复评论

165.194.77.* 在 2011年4月23日 22:12 发表

最后举例部分，没有怎么看懂。。。呜呜呜

回复评论

155.245.121.* 在 2011年4月30日 07:31 发表

看到一处错误，套利定价理论是包括忽略税收这一假设的...

回复评论

Yixi (Talk | 贡献) 在 2011年5月3日 15:27 发表

155.245.121.* 在 2011年4月30日 07:31 发表

看到一处错误，套利定价理论是包括忽略税收这一假设的...

附上参考文献，希望对您有帮助！

回复评论

82.9.208.* 在 2012年1月4日 08:30 发表

1. Investors are risk averse and evaluate their only one investment portfolios in terms of expected return and standard deviation of return measured over the same single holding period. 2. Capital markets are perfect, which means all assets are infinitely divisible; there are no transactions costs, short selling restrictions or taxes; information is costless and available to everyone; and all investors can borrow and lend at the risk-free rate. 3. All investors receive the same investment opportunities. 4. Investors all make the same estimates of individual asset expected returns, standard deviations of return and the correlations among asset returns.

这是Perold 2004年总结CAPM时提出CAPM需要的假设，这里如果APT需要完美市场的话，税收是必须归类进去的，所以需求的假设定义有点问题

回复评论

发表评论请文明上网，理性发言并遵守有关规定。

套利定价理论

出自 MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)

目录

套利定价理论概述

套利定价理论与资本资产定价模型的异同点

套利定价理论的意义

套利定价理论的基本机制

套利定价理论的模型^[2]

一、因素模型（factor models）

二、无套利均衡（no arbitrage equilibrium）

套利定价理论假设^[2]

APT和CAPM^[2]

套利定价理论的应用分析

分析一：套利定价理论在证券中的应用^[3]

参考文献

本条目由以下用户参与贡献

评论(共14条)

导航

个人工具

搜索

查看

工具箱▼

导航

套利定价理论

出自 MBA智库百科(http://wiki.mbalib.com/)

目录

套利定价理论概述

套利定价理论与资本资产定价模型的异同点

套利定价理论的意义

套利定价理论的基本机制

套利定价理论的模型[2]

一、因素模型（factor models）

二、无套利均衡（no arbitrage equilibrium）

套利定价理论假设[2]

APT和CAPM[2]

套利定价理论的应用分析

分析一：套利定价理论在证券中的应用[3]

参考文献

本条目相关文档

本条目由以下用户参与贡献

评论(共14条)

导航

个人工具

搜索

查看

工具箱▼

导航

套利定价理论的模型^[2]

套利定价理论假设^[2]

APT和CAPM^[2]

分析一：套利定价理论在证券中的应用^[3]